2002-上海卷文-03 填-对数方程求解

本题导读

本题考查对数方程的求解，以及对数式与指数式的互化。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 方程 ${\log }_3(1-2\times 3^x)=2x+1$ 的解 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化指数式 $1-2\cdot 3^x=3^{2x+1}=3\cdot 9^x$。
2. 令 $t=3^x>0$，解 $1-2t=3t^2$ 得 $t=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_3(1-2\cdot 3^x)=2x+1$ 得 $1-2\cdot 3^x=3^{2x+1}=3\cdot (3^x{)}^2$．令 $t=3^x>0$，则 $1-2t=3t^2$，即 $3t^2+2t-1=0$，解得 $t=\frac{1}{3}$（$t=-1$ 舍去），故 $3^x=\frac{1}{3}$，$x=-1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程求解

核心方法：$1-2\cdot 3^x=3^{2x+1}=3\cdot 9^x$，令 $t=3^x>0$ 得 $1-2t=3t^2$，即 $3t^2+2t-1=0$，得 $t=\frac{1}{3}$，$x=-1$

避坑指南：对数方程化指数式，换元 $t=3^x$ 得二次方程取正根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数方程

结论推广：一般地，对数方程化为指数式，换元解方程

方法推广：令 $t=3^x$ 化二次方程，取正根回代求 $x$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-08 填-对数方程化同底
• 2004-北京卷文-10 填-对数方程求解