2001-新课标卷文-20乙 解-四棱锥体积与二面角

本题导读

本题考查四棱锥的体积，以及二面角的平面角的求解。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） （选做题，20甲与20乙二选一）如图，在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$SA\perp$ 面 $ABCD$，$SA=AB=BC=1$，$AD=\frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积；

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求直角梯形 $ABCD$ 的面积，用棱锥体积公式。
2. 延长 $BA,CD$ 交于 $E$，用三垂线定理作二面角平面角。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）底面直角梯形 $ABCD$ 的面积为 $\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot AB=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)\times 1=\frac{3}{4}$，故四棱锥体积 $V=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times SA=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{4}$． （2）延长 $BA$、$CD$ 交于点 $E$，连接 $SE$，则 $SE$ 是所求二面角的棱．由 $AD\parallel BC$ 且 $BC=2AD$，得 $EA=AB=SA=1$，故 $SB=\sqrt{2}$．因 $SA\perp$ 面 $ABCD$，面 $SEB\perp$ 面 $EBC$，$EB$ 是交线，又 $BC\perp EB$，故 $BC\perp$ 面 $SEB$，$SB$ 是 $CS$ 在面 $SEB$ 上的射影，故 $CS\perp SE$，从而 $\angle BSC$ 是所求二面角的平面角．又 $BC\perp SB$，所以 $\tan \angle BSC=\frac{BC}{SB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥体积与二面角

核心方法：底面梯形面积 $\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot AB=\frac{3}{4}$，体积 $\frac{1}{3}\times 1\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；延长 $BA,CD$ 交于 $E$，$SB$ 为射影，$\tan \angle BSC=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：直角梯形求面积，二面角平面角用三垂线定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材棱锥体积与二面角

结论推广：一般地，二面角平面角用三垂线定理作

方法推广：体积公式 + 三垂线定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-19 解-四棱锥体积与二面角
• 2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角
• 2004-北京春文-17 解-四棱锥垂直与二面角