2001-新课标卷文-07 单-三角函数单调比较

本题导读

本题考查三角函数在给定区间上的单调性，以及辅助角公式的运用。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 若 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$，$\sin \alpha +\cos \alpha =a$，$\sin \beta +\cos \beta =b$，则()

A. $a<b$　　　　　　B. $a>b$　　　　　　C. $ab<1$　　　　　　D. $ab>2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $h(t)=\sin t+\cos t$，在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上判断其单调性。
2. 由 $\alpha <\beta$ 比较 $a$ 与 $b$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $h(t)=\sin t+\cos t$，则 $h(t)=\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$．当 $0<t<\frac{\pi }{4}$ 时，$\frac{\pi }{4}<t+\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$，$h(t)$ 单调递增，故由 $\alpha <\beta$ 得 $a=h(\alpha )<h(\beta )=b$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数单调比较

核心方法：$h(t)=\sin t+\cos t$ 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上递增，由 $\alpha <\beta$ 得 $a=h(\alpha )<h(\beta )=b$

避坑指南：用导数判单调，或辅助角 $\sqrt{2}\sin (t+\frac{\pi }{4})$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的单调性

结论推广：一般地，$\sin t+\cos t$ 可用辅助角化单调区间

方法推广：辅助角或导数判单调

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-21 解-正弦型函数奇偶对称单调
• 2003-上海文-13 单-偶函数与单调性
• 2004-天津文-10 单-三角函数单调区间