2004-天津文-10 单-三角函数单调区间

本题导读

本题考查三角函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 函数 $y=2\sin \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)$（$x\in [0,\pi ]$）为增函数的区间是()

A. $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$　　　　B. $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$　　　　C. $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$　　　　D. $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=-2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 增区间即 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的减区间。
3. $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ 得 $x\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$y=2\sin \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=-2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$.因 $y$ 为增函数等价于 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 为减函数，令 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，解得 $x\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，且在 $[0,\pi ]$ 内，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数单调区间
2. 核心方法：$y=2\sin \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=-2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，增区间即 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的减区间；在 $[0,\pi ]$ 上得 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$
3. 避坑指南：负号翻转单调性；$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 减区间 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，解 $x$ 并交 $[0,\pi ]$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数的单调区间，教材”三角函数的图象与性质”
2. 结论推广: 一般化：$y=-2\sin (2x-\phi )$ 增区间是 $\sin (2x-\phi )$ 的减区间；负号翻转单调性，解不等式再与定义域取交

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-05 单-三角函数单调区间
• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间
• 2007-辽宁文-19 解-三角化简与单调区间