2001-新课标卷文-02 单-前n项和判数列

本题导读

本题考查由前 $n$ 项和反求数列通项，以及等差、等比数列的判定。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 若 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_n=n^2$，则 $\{a_n\}$ 是()

A. 等比数列，但不是等差数列　　　B. 等差数列，但不是等比数列

C. 等差数列，而且也是等比数列　　D. 既非等比数列又非等差数列

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求通项。
2. 检验 $n=1$ 是否也满足通项，再判类型。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$；又 $a_1=S_1=1$，也满足 $a_n=2n-1$．故 $a_n=2n-1$，是公差为 $2$ 的等差数列；因 $a_2/a_1=3$，而 $a_3/a_2=\frac{5}{3}$，不是等比数列，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：前n项和判数列

核心方法：$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$（$n\ge 2$），$a_1=S_1=1$，故 $\{a_n\}$ 是等差非等比

避坑指南：用 $S_n-S_{n-1}$ 求通项，注意 $n=1$ 单独验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的前 $n$ 项和

结论推广：一般地，$a_n=S_n-S_{n-1}$ 反求通项，注意 $n=1$

方法推广：由 $S_n$ 作差求通项判类型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2003-河南卷-06 单-等差数列求项数
• 2003-大纲文-04 单-等差数列求项数
• 2006-陕西文-03 单-等差数列前n项和