2006-陕西文-03 单-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列，以及前n项和。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1+a_8=8$，则该数列前 $9$ 项和 $S_9$ 等于()

A. $18$　　　　　　　B. $27$　　　　　　　C. $36$　　　　　　　D. $45$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设首项 $a_1$、公差 $d$，则 $a_8=a_1+7d$，$a_1+a_8=8$ 即 $2a_1+7d=8$。
2. $S_9=\frac{9}{2}(a_1+a_9)=\frac{9}{2}(2a_1+8d)=\frac{9}{2}(8+d)=36+\frac{9d}{2}$。
3. 条件只确定 $a_1$ 与 $d$ 的一个关系，$d$ 可任取，$S_9$ 不唯一。
4. 取 $d=-4$ 得 $S_9=18$、$d=-2$ 得 $27$、$d=0$ 得 $36$、$d=2$ 得 $45$，四选项均可能出现。

✅【答案】

Success

无唯一值（原题条件不足）

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列的首项为 $a_1$、公差为 $d$，则 $a_8=a_1+7d$，由 $a_1+a_8=8$ 得 $2a_1+7d=8.$ 又 $a_9=a_1+8d$，所以 $S_9=\frac{9}{2}(a_1+a_9)=\frac{9}{2}(2a_1+8d)=\frac{9}{2}(8+d)=36+\frac{9}{2}d.$ 条件 $2a_1+7d=8$ 只确定了 $a_1$ 与 $d$ 的一个关系，公差 $d$ 仍可任意取值，因此 $S_9$ 不能唯一确定． 例如取 $d=-4$，则 $a_1=18$，此时 $S_9=18$；取 $d=-2$，则 $a_1=11$，此时 $S_9=27$；取 $d=0$，则 $a_1=4$，此时 $S_9=36$；取 $d=2$，则 $a_1=-3$，此时 $S_9=45$． 四个选项中的数值均可能出现，所以按原题题面本题没有唯一答案． ★【裁定】官方答案册明示本题”无唯一值”（原题条件不足）；部分转载资料（如 ima.qq、renrendoc）给出答案 C（$36$），系当 $d=0$ 时的特例，非通解，故以答案册”无唯一值”为准。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前n项和

核心方法：$a_1+a_8=8$ 即 $2a_1+7d=8$，仅一个关系式不能唯一确定 $S_9=36+\frac{9d}{2}$

避坑指南：原题条件不足：$d$ 可任取，$S_9$ 无唯一值，四个选项均可出现（答案册自认”无唯一值”）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等差数列的基本量与求和

结论推广: $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

方法推广: 注意基本量个数的充分性，条件不足时结论不唯一

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-15 填-等差数列待定系数
• 2010-浙江卷文-19 解-等差数列前n项和
• 2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量
• 2013-新课标Ⅰ文-17 解-等差数列裂项求和