2001-新课标理-02 单-前n项和判数列

本题导读

本题考查数列的前 $n$ 项和，以及等差数列、等比数列的判定。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 若 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_n=n^2$，则 $\{a_n\}$ 是()

A. 等比数列，但不是等差数列　　　B. 等差数列，但不是等比数列

C. 等差数列，而且也是等比数列　　D. 既非等比数列又非等差数列

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1$。
2. 验证 $a_1=1$ 也满足，判定数列类型。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$；$n=1$ 时 $a_1=S_1=1=2\times 1-1$ 也满足，故 $a_n=2n-1$．这是首项为 $1$、公差为 $2$ 的等差数列；相邻两项之比不为常数，不是等比数列，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：前n项和判数列

核心方法：$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1$，$a_1=1$ 也满足，故 $\{a_n\}$ 等差非等比

避坑指南：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$）后验证 $n=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的前 n 项和

结论推广：一般地，$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$），须验证 $n=1$

方法推广：和与项互化判数列

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-02 单-前n项和判数列