2001-大纲文-21 解-基本不等式求面积最小

本题导读

本题考查基本不等式的应用。核心在于用均值不等式求纸张面积的最小值。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 设计一幅宣传画，要求画面面积为 $4840\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$，画面的宽与高的比为 $\lambda$（$\lambda <1$），画面的上、下各留 $8\mathrm{cm}$ 空白，左、右各留 $5\mathrm{cm}$ 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设画面高 $h$、宽 $w$，纸张面积 $S=(h+16)(w+10)$。
2. 展开后用基本不等式求 $16w+10h$ 的最小值。

✅【答案】

Success

高 $88\mathrm{cm}$，宽 $55\mathrm{cm}$；最小纸张面积 $6760\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

✍【详细解析】

Abstract

设画面高为 $h\mathrm{cm}$、宽为 $w\mathrm{cm}$，则 $wh=4840$，$\lambda =\frac{w}{h}<1$．纸张高为 $h+16$、宽为 $w+10$，故纸张面积 $S=(h+16)(w+10)=wh+16w+10h+160=5000+16w+10h$．由均值不等式 $16w+10h\ge 2\sqrt{160wh}=2\sqrt{160\times 4840}=1760$，当且仅当 $16w=10h$，即 $\frac{w}{h}=\frac{5}{8}$ 时取等号．此时 $w=\frac{5}{8}h$，代入 $wh=4840$ 得 $\frac{5}{8}{h}^2=4840$，故 $h=88$，$w=55$．此时 $\lambda =\frac{5}{8}<1$，纸张面积最小，为 $5000+1760=6760\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求面积最小

核心方法：纸面积 $S=(h+16)(w+10)=5000+16w+10h$，$16w+10h\ge 2\sqrt{160wh}=1760$，等号 $w:h=5:8$，得 $h=88,w=55$，$S_{\min }=6760$

避坑指南：基本不等式求最值取等号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材基本不等式

结论推广：一般地，$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 等号取 $a=b$

方法推广：基本不等式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-18 解-基本不等式求面积最小
• 2006-天津文-15 填-基本不等式求最值
• 2003-北京文-14 填-基本不等式面积最值