2001-大纲文-20 解-抛物线焦点弦过原点

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦。核心在于利用参数方程证明 $O$ 、 $A$ 、 $C$ 三点共线。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)）设抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，经过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点.点 $C$ 在抛物线的准线上，且 $B C ∥ x$ 轴.证明直线 $A C$ 经过原点 $O$ .

🔍【思路分析】

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设 $A$ 、 $B$ 的参数为 $t_{1}, t_{2}$ 。

弦过焦点得 $t_{1} t_{2} = - 1$ 。

证 $k_{O A} = k_{O C}$ 。

✅【答案】

Success

证明： $O$ 、 $A$ 、 $C$ 三点共线

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (\frac{p}{2}, 0)$ ，准线为 $x = - \frac{p}{2}$ ．设抛物线上点 $A$ 、 $B$ 的参数分别为 $t_{1}, t_{2}$ ，则 $A (\frac{p}{2} t_{1}^{2}, p t_{1})$ ， $B (\frac{p}{2} t_{2}^{2}, p t_{2})$ ．连接参数为 $t_{1}, t_{2}$ 两点的弦所在直线方程为 $2 x - (t_{1} + t_{2}) y + p t_{1} t_{2} = 0$ ．因该直线过焦点 $F$ ，代入得 $p + p t_{1} t_{2} = 0$ ，故 $t_{1} t_{2} = - 1$ ．由 $B C ∥ x$ 轴且 $C$ 在准线上，得 $C (- \frac{p}{2}, p t_{2})$ ．直线 $O A$ 的斜率为 $\frac{p t _{1}}{\frac{p}{2} t _{1}^{2}} = \frac{2}{t _{1}}$ ，直线 $O C$ 的斜率为 $\frac{p t _{2}}{- \frac{p}{2}} = - 2 t_{2} = \frac{2}{t _{1}}$ （用到 $t_{1} t_{2} = - 1$ ）．故 $k_{O A} = k_{O C}$ ， $O$ 、 $A$ 、 $C$ 三点共线，直线 $A C$ 经过原点 $O$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦过原点

核心方法：设 $A (\frac{p}{2} t_{1}^{2}, p t_{1}), B (\frac{p}{2} t_{2}^{2}, p t_{2})$ ，弦过焦点得 $t_{1} t_{2} = - 1$ ； $C (- \frac{p}{2}, p t_{2})$ ， $k_{O A} = \frac{2}{t _{1}} = k_{O C}$ ，故 $O, A, C$ 共线

避坑指南：参数方程 + 焦点定 $t_{1} t_{2} = - 1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的焦点弦

结论推广：一般地，焦点弦两端点参数满足 $t_{1} t_{2} = - 1$

方法推广：参数方程证共线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

2004-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与向量定比

2006-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与面积

2001-新课标卷文-10 单-抛物线焦点弦数量积

∑ ( Math )

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2001-大纲文-20 解-抛物线焦点弦过原点

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