2001-大纲文-18 解-四棱锥体积与二面角

本题导读

本题考查四棱锥的体积与二面角。核心在于建系用法向量求二面角的正切值。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$SA\perp$ 面 $ABCD$，$SA=AB=BC=1$，$AD=\frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积；

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面是直角梯形，$AB$ 是高，求底面积。
2. 体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}h$。
3. 建系求两平面法向量，算二面角。

✅【答案】

Success

体积 $\frac{1}{4}$；二面角正切 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 底面是直角梯形，$AD\parallel BC$，$AB$ 为高，底面积 $S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{\frac{1}{2}+1}{2}\times 1=\frac{3}{4}$．又 $SA\perp$ 面 $ABCD$，四棱锥的高为 $SA=1$，故体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{4}$． (2) 建立空间直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D\left(0,\frac{1}{2},0\right)$，$S(0,0,1)$．平面 $SBA$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$．又 $\overrightarrow{SC}=(1,1,-1)$，$\overrightarrow{SD}=\left(0,\frac{1}{2},-1\right)$，平面 $SCD$ 的一个法向量可取 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{SD}=\left(-\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)$，即 ${\mathbf{n}}_2=(-1,2,1)$．设两平面所成的锐二面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{2}{\sqrt{6}}$，故 $\tan \theta =\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{2}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥体积与二面角

核心方法：底面积 $S=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{3}{4}$，$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{4}$；建系法向量 ${\mathbf{n}}_2=(-1,2,1)$，$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{6}}$，$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$

避坑指南：体积 $\frac{1}{3}Sh$，二面角用法向量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量与体积

结论推广：一般地，四棱锥体积 $\frac{1}{3}Sh$，二面角用法向量

方法推广：建系法向量求角与体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-20乙 解-四棱锥体积与二面角
• 2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角
• 2002-大纲文-19 解-四棱锥体积与二面角