2001-大纲文-04 单-对数函数底数范围

本题导读

本题考查对数函数的性质，以及底数范围的确定。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 若定义在区间 $(-1,0)$ 内的函数 $f(x)={\log }_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\in (-1,0)$ 时 $0<x+1<1$。
2. 底数 $2a\in (0,1)$ 时对数为正。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\in (-1,0)$ 时，$0<x+1<1$．要使 ${\log }_{2a}(x+1)>0$ 对一切 $x+1\in (0,1)$ 成立，需底数 $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数底数范围

核心方法：$x\in (-1,0)$ 时 $0<x+1<1$，${\log }_{2a}(x+1)>0$ 需 $0<2a<1$，故 $0<a<\frac{1}{2}$

避坑指南：对数底数小于 1 时真数小于 1 得正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数函数的单调性

结论推广：一般地，$0<$ 底数 $<1$ 且 $0<$ 真数 $<1$ 时对数值为正

方法推广：利用底数与真数范围判符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-04 单-对数函数单调区间
• 2002-大纲文-09 单-对数不等式范围
• 2003-天津文-09 单-对数型反函数