2001-上海卷理-08 填-向量的数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及向量模长的代数运算。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 若向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 满足 $|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|=|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }|$，则 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 所成角的大小为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 代数平方法：将已知等式 $|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|=|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }|$ 两边同时平方，化为向量的数量积形式 $(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }{)}^2=(\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }{)}^2$。展开后消去相同项，即可推导出数量积 $\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0$，由此判定两向量互相垂直。
2. 几何判定法：以 $\mathbf{\alpha }$ 和 $\mathbf{\beta }$ 为邻边构造平行四边形。 $|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|$ 和 $|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }|$ 分别代表该平行四边形的两条对角线的长度。对角线相等的平行四边形必为矩形，从而直接得出两邻边互相垂直。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

两边平方转化为数量积 已知向量等式为： $|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|=|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }|$ 由于两边均为非负实数，将其两边同时平方，等式保持成立： $|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }{|}^2=|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }{|}^2$ 利用向量模的平方等于其自身内积的性质（ $|\mathbf{v}{|}^2={\mathbf{v}}^2$ ），展开两边： $(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })\cdot (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=(\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta })\cdot (\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta })$ ${\mathbf{\alpha }}^2+2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }+{\mathbf{\beta }}^2={\mathbf{\alpha }}^2-2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }+{\mathbf{\beta }}^2$

消元求解夹角 在等式两边同时消去 ${\mathbf{\alpha }}^2$ 和 ${\mathbf{\beta }}^2$： $2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=-2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$ 移项合并同类项： $4\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0⟹\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0$

根据向量数量积的定义 $\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\cos \theta$（其中 $\theta$ 为两向量的夹角）。 因为非零向量的数量积为 0，所以必有： $\cos \theta =0$ 在向量夹角取值范围 $\theta \in [0,\pi ]$ 内，解得： $\theta =\frac{\pi }{2}(\text{或 }90^{\circ })$

$\frac{\pi }{2}$ （或 $90^{\circ }$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差模长相等与垂直的互推。

核心方法：两边平方，交叉项相消。${\left|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\right|}^2={\left|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }\right|}^2\Rightarrow 4\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0$。

避坑指南：$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0$ 推出”垂直”，前提是两者都非零；题目没给非零，严格说该写”夹角为 $\frac{\pi }{2}$ 或其中之一为零向量”，填空题写 $\frac{\pi }{2}$ 即可。另外答案用弧度写 $\frac{\pi }{2}$，别与 $90^{\circ }$ 混着写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修第二册”数量积与垂直”一节的核心结论，也是”菱形对角线互相垂直”的代数版本。

结论推广：$\left|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\right|=\left|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }\right|⟺\mathbf{\alpha }\perp \mathbf{\beta }$；顺带 ${\left|\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\right|}^2+{\left|\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }\right|}^2=2\left({\left|\mathbf{\alpha }\right|}^2+{\left|\mathbf{\beta }\right|}^2\right)$，即平行四边形四边平方和等于对角线平方和。

方法推广：凡是”两个模相等”或”两个模的平方和是定值”的条件，一律先平方再看交叉项——交叉项是 $2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$ 还是 $-2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$，决定它消掉还是留下。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比