2000-广东卷理-22 解-双曲线的定义与标准方程

本题导读

本题为 2000 年广东理科卷的压轴大题。核心考查利用代数坐标法处理复杂的几何与圆锥曲线综合问题。解题难点在于通过建立恰当的直角坐标系，将梯形顶点、定比分点 $E$ 的几何关系坐标化，再利用双曲线的定义或方程，建立参数 $\lambda$ 与离心率 $e$ 之间的显式代数方程，最终借助函数的单调性求得离心率的取值范围。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$、$D$、$E$ 三点，且以 $A$、$B$ 为焦点，当 $\frac{2}{3}\le \lambda \le \frac{3}{4}$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立直角坐标系：以线段 $AB$ 的中点为原点 $O$，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系。设双曲线的焦距为 $2c$，则焦点坐标为 $A(-c,0),B(c,0)$。
2. 确定关键点坐标：

• 设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
• 由图象的对称性及等腰梯形的隐含假设（或由 $C,D$ 两点均在双曲线上且关于 $y$ 轴对称可证该梯形必为等腰梯形），设 $C(x_1,y_1)$，则 $D(-x_1,y_1)$。
• 结合 $|AB|=2|CD|$，可以求出 $C$ 点的横坐标 $x_1=\frac{c}{2}$。将 $x_1$ 代入双曲线方程，用 $a,b,c$ 表示出 $y_1$。

3. 利用定比分点表示点 $E$：根据定比分点公式 $\overrightarrow{AE}=\lambda \overrightarrow{EC}$，计算出动点 $E$ 的坐标 $(x_E,y_E)$。
4. 建立方程求解 $e$：将 $E$ 点坐标代入双曲线方程中，消去纵坐标和公共参数，导出离心率 $e=\frac{c}{a}$ 与 $\lambda$ 的函数关系式。
5. 求值域：结合 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$ 的范围，利用函数的单调性分析求出离心率 $e$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

双曲线离心率 $e$ 的取值范围为 $[\sqrt{7},\sqrt{10}]$

✍【详细解析】

Abstract

以线段 $AB$ 的中心为坐标原点 $O$，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系。 设双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 焦距为 $2c$，则两焦点坐标为 $A(-c,0)$，$B(c,0)$。此时离心率 $e=\frac{c}{a}>1$。

步骤一：确定点 $C$ 和点 $D$ 的坐标 因为双曲线关于 $y$ 轴对称，且已知 $C,D$ 两点在双曲线上。由图形结构，梯形 $ABCD$ 的底边 $CD\parallel AB$（平行于 $x$ 轴），故 $C,D$ 两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。 设 $C(x_1,y_1)$，则 $D(-x_1,y_1)$，其中 $x_1>0,y_1>0$。 线段 $CD$ 的长度为 $|CD|=x_1-(-x_1)=2x_1$。 又已知焦点两点弦长 $|AB|=2c$，且题目给定条件 $|AB|=2|CD|$。 所以： $2c=2(2x_1)=4x_1⟹x_1=\frac{c}{2}$ 由于点 $C\left(\frac{c}{2},y_1\right)$ 在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程： $\frac{{\left(\frac{c}{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1⟹\frac{c^2}{4a^2}-1=\frac{y_1^2}{b^2}$ 将 $b^2=c^2-a^2$ 代入上式，可表示出 $y_1^2$： $y_1^2=b^2\left(\frac{c^2-4a^2}{4a^2}\right)=(c^2-a^2)\cdot \frac{c^2-4a^2}{4a^2}$ 由于点 $C$ 在双曲线上右支，需满足 $\frac{c}{2}>a⟹c>2a$，即离心率 $e=\frac{c}{a}>2$。

步骤二：确定点 $E$ 的坐标 已知点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，即 $\overrightarrow{AE}=\lambda \overrightarrow{EC}$。 根据平面点定比分点公式，已知 $A(-c,0)$ 和 $C\left(\frac{c}{2},y_1\right)$，点 $E(x_E,y_E)$ 的坐标为： $x_E=\frac{-c+\lambda \cdot \frac{c}{2}}{1+\lambda }=\frac{c(\lambda -2)}{2(1+\lambda )}$ $y_E=\frac{0+\lambda \cdot y_1}{1+\lambda }=\frac{\lambda y_1}{1+\lambda }$

步骤三：代入方程建立 $\lambda$ 与 $e$ 的关系 由于点 $E(x_E,y_E)$ 同样落在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程中： $\frac{x_E^2}{a^2}-\frac{y_E^2}{b^2}=1$ 代入 $x_E,y_E$ 的表达式： $\frac{c^2(\lambda -2{)}^2}{4a^2(1+\lambda {)}^2}-\frac{{\lambda }^2{y}_1^2}{b^2(1+\lambda {)}^2}=1$ 两边同乘以 $(1+\lambda {)}^2$： $\frac{c^2}{4a^2}(\lambda -2{)}^2-{\lambda }^2\cdot \left(\frac{y_1^2}{b^2}\right)=(1+\lambda {)}^2$ 由步骤一可知，$\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{c^2}{4a^2}-1$，代入上式： $\frac{c^2}{4a^2}(\lambda -2{)}^2-{\lambda }^2\left(\frac{c^2}{4a^2}-1\right)=(1+\lambda {)}^2$ 将涉及 $\frac{c^2}{4a^2}$ 的项移到等式左边，其余常数项展开移到右边： $\frac{c^2}{4a^2}\left[(\lambda -2{)}^2-{\lambda }^2\right]+{\lambda }^2=1+2\lambda +{\lambda }^2$ $\frac{c^2}{4a^2}\left[({\lambda }^2-4\lambda +4)-{\lambda }^2\right]=1+2\lambda$ $\frac{c^2}{4a^2}(4-4\lambda )=1+2\lambda$ 由于离心率 $e=\frac{c}{a}$，则 $\frac{c^2}{4a^2}=\frac{e^2}{4}$。代入得： $\frac{e^2}{4}\cdot 4(1-\lambda )=1+2\lambda$ $e^2(1-\lambda )=1+2\lambda$ 由于 $\frac{2}{3}\le \lambda \le \frac{3}{4}$，则 $1-\lambda \ne 0$，方程两边同除以 $(1-\lambda )$： $e^2=\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }$

步骤四：求解 $e$ 的取值范围 将 $e^2$ 的表达式进行分子常数化分离： $e^2=\frac{-2(1-\lambda )+3}{1-\lambda }=-2+\frac{3}{1-\lambda }$ 在区间 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$ 内，随着 $\lambda$ 的增大：

• $1-\lambda$ 单调递减；
• $\frac{3}{1-\lambda }$ 单调递增；
• 故 $e^2=-2+\frac{3}{1-\lambda }$ 在该区间上关于 $\lambda$ 是单调递增函数。

将区间的两个端点值分别代入计算：

• 当 $\lambda =\frac{2}{3}$ 时，取得极小值： $e_{\min }^2=\frac{1+2\cdot \frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}}=7$
• 当 $\lambda =\frac{3}{4}$ 时，取得极大值： $e_{\max }^2=\frac{1+2\cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{\frac{10}{4}}{\frac{1}{4}}=10$

所以， $e^2$ 的取值范围为 $[7,10]$。 由于离心率 $e>0$（且满足之前生成的隐含条件 $e>2$），两边开平方根得： $\sqrt{7}\le e\le \sqrt{10}$

答案： 双曲线离心率 $e$ 的取值范围是 $[\sqrt{7},\sqrt{10}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：建立合理的平面直角坐标系简化圆锥曲线方程；线段定比分点坐标公式的运用；通过代数消元构造参数与目标几何量（离心率 $e$）的函数关系。
2. 核心方法：坐标代数法。压轴题中处理几何多点共线或分点比例问题时，利用定比分点公式把动点 $E$ 完全用已知量表示出来，再代入曲线方程，是打破局面的最彻底手法。
3. 避坑指南：

• 必须注意隐含限制条件的提取。在步骤一中，由于点 $C$ 属于双曲线右支，其横坐标必须大于实半轴长 $a$，即 $\frac{c}{2}>a⟹e>2$。最终解出的 $\sqrt{7}\approx 2.64$ 属于此范畴，检验合格。
• 化简 $\frac{c^2}{4a^2}(\lambda -2{)}^2-{\lambda }^2(\frac{c^2}{4a^2}-1)$ 时容易在展开多项式时漏项或弄错符号，建议像解析中一样，将公因式 $\frac{c^2}{4a^2}$ 整体提取后再对括号内进行合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查了解析几何中经典的“定比弦”与“二次曲线结合”的大型综合推导，侧重于高强度的代数化简与函数单调性联动的复合解题素养。
2. 结论推广：对于本题中的等腰梯形几何框架，若两焦点为底边顶点，若双曲线通过上底两顶点，且过下底对角线上分比为 $\lambda$ 的点，其离心率与分比的代数关联结构恒满足 $e^2=\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }\cdot k$ 型变化。掌握分点公式的坐标展开，是解决此类圆锥曲线存在性或范围变形题目的通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1985-广东理-14 单-双曲线的离心率
• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程