2000-广东卷理-14 填-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查椭圆焦点三角形中张角的代数范围判定。解题核心在于将“焦点弦张角为钝角”这一几何条件，转化为向量数量积小于零的不等式 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$，进而解出动点 $P$ 横坐标的取值范围。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的焦点 $F_1$、$F_2$，点 $P$ 为其上的动点，当 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取椭圆基本量：由标准方程得到 $a^2=9,b^2=4$，从而计算出半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}$。写出焦点坐标 $F_1(-\sqrt{5},0),F_2(\sqrt{5},0)$。
2. 向量化约束条件：设 $P(x,y)$。$\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角，等价于 $\cos \angle F_{1}P{F}_2<0$ 且三个点不共线（在椭圆上自然不共线）。根据向量夹角公式，这等价于数量积 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$。
3. 坐标运算与消元：写出向量坐标，展开数量积得到关于 $x,y$ 的不等式 $x^2-c^2+y^2<0$。利用椭圆方程将 $y^2$ 用 $x^2$ 代换，转化为关于 $x$ 的一元二次不等式。
4. 解不等式：求解并结合椭圆本身对横坐标的定义域限制（$|x|\le a$），得出最终区间。

✅【答案】

Success

$\left(-\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 可知： $a^2=9⟹a=3$ $b^2=4⟹b=2$ 半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。 故左、右焦点坐标分别为 $F_1(-\sqrt{5},0)$，$F_2(\sqrt{5},0)$。

设椭圆上的动点坐标为 $P(x,y)$，其横坐标满足 $-3\le x\le 3$。 由点 $P$ 在椭圆上，可得： $y^2=4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)=4-\frac{4}{9}{x}^2$

构建向量： $\overrightarrow{P{F}_1}=(-\sqrt{5}-x,-y)$ $\overrightarrow{P{F}_2}=(\sqrt{5}-x,-y)$

因为 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角，所以该角的余弦值严格小于 $0$，即两向量的数量积满足： $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$ $(-\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}-x)+(-y)(-y)<0$ $(x^2-5)+y^2<0$ $x^2+y^2<5$ (注：从几何上看，该不等式表示点 $P$ 位于以 $F_1{F}_2$ 为直径的辅助圆 $x^2+y^2=5$ 的内部)

将 $y^2=4-\frac{4}{9}{x}^2$ 代入不等式中，消去 $y$： $x^2+\left(4-\frac{4}{9}{x}^2\right)<5$ $\frac{5}{9}{x}^2+4<5$ $\frac{5}{9}{x}^2<1$ $x^2<\frac{9}{5}$

解此一元二次不等式，得： $-\frac{3}{\sqrt{5}}<x<\frac{3}{\sqrt{5}}$ 分母有理化： $-\frac{3\sqrt{5}}{5}<x<\frac{3\sqrt{5}}{5}$

由于 $\frac{3\sqrt{5}}{5}\approx \frac{3\times 2.236}{5}\approx 1.34<3$，此范围完全包含在椭圆横坐标定义域 $[-3,3]$ 内。

答案： $\left(-\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的正负号与空间夹角（锐角/直角/钝角）的逻辑对应；二次曲线的代数消元法。
2. 核心方法：

• 向量法：将角度限制转化为 $\vec{A}\cdot \vec{B}<0$，避免了直接使用余弦定理引入复杂的模长根式，计算量最低。
• 几何法（圆判定）：以焦距为直径的圆方程为 $x^2+y^2=c^2$。若椭圆上的点在此圆内，则张角为钝角；在此圆上为直角；在圆外为锐角。直接联立椭圆与圆内部不等式 $x^2+y^2<c^2$ 亦可。

3. 避坑指南：

• 容易错把钝角条件扩大为 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}\le 0$。必须明确：直角时数量积等于 $0$，钝角时严格小于 $0$，不可取等号。
• 得出结果后，应习惯性地检查是否超出了椭圆本身的边界（本题定义域为 $[-3,3]$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将解析几何的二次曲线与平面向量工具完美融合，是高考填空题中考查“线圆位置关系”和“向量代数化”的经典中档题。
2. 结论推广：对于标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，存在点 $P$ 使得 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角的充要条件是椭圆短轴顶点对焦距的张角为钝角，即满足 $b<c$（等价于离心率 $e>\frac{\sqrt{2}}{2}$）。此时，使张角为钝角的点 $P$ 的横坐标取值范围放缩通用公式为 $|x|<\frac{a\sqrt{c^2-b^2}}{c}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量
• 1985-广东文-24 单-椭圆的标准方程