2000-广东卷理-02 单-复数的三角形式与乘法几何意义

本题导读

本题考查复平面内向量旋转的复数代数运算。解题核心在于明确：将一个向量按顺时针方向旋转 $\theta$ 角，等价于将其对应的复数乘以 $\cos (-\theta )+\text{i}\sin (-\theta )$。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 在复平面内，把复数 $3-\sqrt{3}\text{i}$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，所得向量对应的复数是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　B. $-2\sqrt{3}\text{i}$　　　　　C. $\sqrt{3}-3\text{i}$　　　　　D. $3+\sqrt{3}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确旋转的复数乘法等价形式。逆时针旋转 $\theta$ 乘以 $e^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$；顺时针旋转 $\theta$ 相当于逆时针旋转 $-\theta$，故乘以 $\cos (-\theta )+\text{i}\sin (-\theta )$。
2. 确定本题的旋转因子。顺时针旋转 $\frac{\pi }{3}$，对应的复数乘子为 $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$。
3. 执行复数代数乘法运算。将初始复数 $3-\sqrt{3}\text{i}$ 与旋转乘子相乘，展开并化简求得最终结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据复数乘法的几何意义，在复平面内将向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，等价于将该向量对应的复数乘以复数： $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$

已知初始向量对应的复数为 $z_1=3-\sqrt{3}\text{i}$，设旋转后所得的复数为 $z_2$。 则进行复数乘法运算： $z_2=(3-\sqrt{3}\text{i})\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)$ 展开括号： $z_2=3\cdot \frac{1}{2}-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}-\sqrt{3}\text{i}\cdot \frac{1}{2}+\sqrt{3}\text{i}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，合并实部与虚部： $z_2=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}-\frac{3}{2}$ $z_2=\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\text{i}$ $z_2=0-\frac{4\sqrt{3}}{2}\text{i}=-2\sqrt{3}\text{i}$

正确选项为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法的旋转几何意义。
2. 核心方法：旋转乘子法（代数乘法展开）。
3. 避坑指南：极易弄错旋转方向对应的符号。逆时针为正，顺时针为负。本题为“顺时针”，故乘子必须带有负号变为 $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$。若误当成逆时针乘以 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$，将得出错误结果 $3+\sqrt{3}\text{i}$（选项D）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高等数学与高中数学中复数三角形式的过渡知识，重点考查复平面变换。
2. 结论推广：对复数 $z=x+y\text{i}$ 乘以 $\text{i}$ 相当于逆时针旋转 $90^{\circ }$；乘以 $-\text{i}$ 相当于顺时针旋转 $90^{\circ }$。乘法不仅改变辐角（旋转），还改变模长（缩放），本题由于旋转乘子模长为 $1$，故仅发生纯旋转而不缩放。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式