2000-大纲理-04 单-三角函数单调性比较

本题导读

本题考查三角函数的单调性，以及象限角。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 已知 $\sin \alpha >\sin \beta$，那么下列命题成立的是()

A. 若 $\alpha$，$\beta$ 是第一象限角，则 $\cos \alpha >\cos \beta$ B. 若 $\alpha$，$\beta$ 是第二象限角，则 $\tan \alpha >\tan \beta$ C. 若 $\alpha$，$\beta$ 是第三象限角，则 $\cos \alpha >\cos \beta$ D. 若 $\alpha$，$\beta$ 是第四象限角，则 $\tan \alpha >\tan \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐象限检验：第四象限内正弦递增、正切递增，由 $\sin \alpha >\sin \beta$ 得 $\alpha >\beta$，故 $\tan \alpha >\tan \beta$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

在第一象限内，正弦函数递增，所以 $\sin \alpha >\sin \beta$ 推出 $\alpha >\beta$，而余弦函数递减，故选项 A 错误. 在第二象限内正弦函数递减，因而 $\alpha <\beta$，正切函数递增，则 $\tan \alpha <\tan \beta$，选项 B 错误. 在第三象限内正弦函数递减且余弦函数递增，由 $\sin \alpha >\sin \beta$ 得 $\alpha <\beta$，则 $\cos \alpha <\cos \beta$，选项 C 错误. 在第四象限内正弦函数递增，故 $\alpha >\beta$，又正切函数递增，所以 $\tan \alpha >\tan \beta$，选项 D 成立. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：各象限三角函数的单调性

核心方法：逐象限排除法

避坑指南：四个选项逐一在同一象限内检验，注意每个象限内正弦、余弦、正切的增减性各不相同

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数在各象限的单调性，需对四个象限逐一分析.

2. 结论推广：第一象限正弦、正切递增；第二象限仅正切递增；第三象限仅余弦递增；第四象限正弦、正切递增、余弦递增.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-大纲理-01 单-三角函数在各象限的符号
• 1988-广东文-21 单-三角函数值的大小比较
• 1986-上海理-14 单-三角函数值大小比较