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2000-上海卷理-06 填-函数应用题

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本题导读

本题考查指数增长模型在社会经济实际问题中的应用。解题核心在于建立人均 GDP 的代数增长模型，利用题目给出的增长率列出指数不等式，通过两边取对数并结合常用对数近似值求出所需年数。由于公式构建中多项基数可直接约去，化简过程是本题的提速关键。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 GDP (GDP 是指国内生产总值) 4035 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长 9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍，至少需年. 按：1999 年本市常住人口总数约 1300 万.

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 明确人均 GDP 概念：人均 GDP = 。
  2. 设立变量构建模型：设 1999 年的 GDP 总额为 ，常住人口总数为 ，则 1999 年的人均 GDP 为 。设从 1999 年起，经过 年后年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍。
  3. 建立不等式：
  • 年后的 GDP 总额为 ；
  • 年后的总人口数为 ；
  • 年后的人均 GDP 为 \frac{A \cdot (1 + 9%)^x}{B \cdot (1 + 0.08%)^x}。 根据题意列出不等式：\frac{A \cdot (1 + 9%)^x}{B \cdot (1 + 0.08%)^x} \ge 2 \cdot \frac{A}{B}。
  1. 消参化简与对数计算：两边约去 ，将增长率写成小数形式，得 。两边取常用对数 ，利用估算求出最小正整数 。

✅【答案】

Success

✍【详细解析】

Abstract

设 1999 年上海市完成的 GDP 总额为 （4035 亿元），常住人口总数为 （1300 万）。 则 1999 年的人均 GDP 为 。

设经过 年后，本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍。 根据题意，GDP 按每年 9% 的速度增长， 年后的 GDP 总额为： 人口按每年 0.08% 的速度增长， 年后的总人口数为：

由此可得 年后的人均 GDP 表达式，并使其大于等于 1999 年人均 GDP 的 2 倍：

两边同时约去非零常数 （即原 GDP 4035 亿元与人口 1300 万无需代入具体数值计算）：

两边取以 10 为底的常用对数 ：

利用微积分一阶线性近似估算（或常用对数表数据）：

代入具体数值进行化简：

因为 必须为正整数，要使不等式成立， 至少需取 9。

答案： 9

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：人均产值复合增长率模型的建立；对数不等式的移项化简与运算。
  2. 核心方法：变量设而不求法。题目末尾给出的“4035亿元”与“1300万”两个具体背景数字属于高级干扰项。人均倍数关系与初始绝对总量无关，在建模第一步直接将其设为字母，可避免产生天文数字级的无用无效运算。
  3. 避坑指南：
  • 极易将人口自然增长率 0.08% 误写为 或 。必须明确 0.08% 对应的数值是 0.0008，即底数为 1.0008。
  • 最终除法算得结果为 ，因为要求的是“达到或超过”，应使用“进一法”取整，故至少需要 9 年，不能四舍五入保留为 8 年。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源：本题为典型的人口经济学复利增长模型，旨在考查高中生将实际政策文字转化为指数不等式数学模型的能力。
  2. 结论推广：若总量按速度 增长，分量按速度 增长，要求整体商值达到原先的 倍，所需跨越的时间通用公式为： 此模型在现代金融学（通胀调整后收益）、社会学（人均资源占有率演变）等领域中属于基础测算框架。

🔗【关联脉络】

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