2000-上海卷理-03 填-圆锥曲线的参数方程

本题导读

本题考查圆锥曲线参数方程向普通方程的转化。解题核心在于利用同角三角函数恒等式 ${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$ 消去参数 $\theta$，识别出曲线为平移后的双曲线，进而求出其焦点坐标。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 圆锥曲线 $\{\begin{array}{l}x=4\sec \theta +1\\ y=3\tan \theta \end{array}$ 的焦点坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 消去参数：将参数方程变形为 $\sec \theta =\frac{x-1}{4}$ 和 $\tan \theta =\frac{y}{3}$。
2. 化为标准方程：代入恒等式 ${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$，得到普通方程 $\frac{(x-1{)}^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，识别其为焦点在平行于 $x$ 轴的直线上的双曲线。
3. 计算焦点坐标：由 $a^2=16,b^2=9$ 算出半焦距 $c$，结合中心坐标 $(1,0)$ 平移得到焦点坐标。

✅【答案】

Success

$(-4,0)$ 和 $(6,0)$

✍【详细解析】

Abstract

将已知参数方程进行变形，分离三角函数项： $\sec \theta =\frac{x-1}{4}$ $\tan \theta =\frac{y}{3}$

利用同角三角函数的平方关系恒等式： ${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$

将上述变形后的式子代入恒等式中，消去参数 $\theta$，得普通方程： $\frac{(x-1{)}^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

由此可知，该圆锥曲线是一条焦点在平行于 $x$ 轴的直线上的双曲线。

• 中心坐标为 $(1,0)$；
• 实半轴平方 $a^2=16$；
• 虚半轴平方 $b^2=9$。

计算半焦距 $c$： $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=5$

由于双曲线的中心在 $(1,0)$，焦点位于过中心且平行于 $x$ 轴的直线上，其坐标为中心横坐标分别加减半焦距 $c$，纵坐标保持不变： $F_1(1-c,0)=(1-5,0)=(-4,0)$ $F_2(1+c,0)=(1+5,0)=(6,0)$

答案： $(-4,0)$ 和 $(6,0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正割与正切参数方程对应的双曲线关系；曲线平移后的焦点坐标变换。
2. 核心方法：三角代换消参法。
3. 避坑指南：

• 极易将正割、正切的平方恒等式误记为 ${\tan }^2\theta -{\sec }^2\theta =1$ 或与正余弦的 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 混淆，导致认错曲线类型。
• 算得 $c=5$ 后，容易忽略 $x$ 轴方向上存在的平移量 $+1$，直接写成标准对称中心的 $(\pm 5,0)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于双曲线的三角参数方程标准形式 $\{\begin{array}{l}x=a\sec \theta \\ y=b\tan \theta \end{array}$ 的平移拓宽。
2. 结论推广：对于任意形如 $\{\begin{array}{l}x=a\sec \theta +h\\ y=b\tan \theta +k\end{array}$ 的曲线，其本质为中心在 $(h,k)$ 处的双曲线，当 $a>0,b>0$ 时，其焦距始终满足 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，左右焦点坐标通用公式为 $(h\pm c,k)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1989-上海-20 单-参数方程与曲线
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 1980-全国文-08 解-参数方程化为直角坐标方程