1989-广东文-15 单-双曲线的方程

本题导读

本题考查由渐近线与过点求双曲线方程。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 如果双曲线经过点 $(6,\sqrt{3})$，且它的两条渐近线方程是 $y=\pm \frac{1}{3}x$，那么这双曲线的方程是()

A. $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　B. $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{9}=1$　　　　C. $\frac{x^2}{9}-y^2=1$　　　　D. $\frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

由渐近线 $\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$，设 $\frac{x^2}{9t^2}-\frac{y^2}{t^2}=1$，代入点求。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

渐近线 $y=\pm \frac{1}{3}x$，故 $\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$，设 $a=3t$，$b=t$，双曲线 $\frac{x^2}{9t^2}-\frac{y^2}{t^2}=1$。代入 $(6,\sqrt{3})$：$\frac{36}{9t^2}-\frac{3}{t^2}=1$，即 $\frac{4}{t^2}-\frac{3}{t^2}=1$，$\frac{1}{t^2}=1$，$t=1$。故 $\frac{x^2}{9}-y^2=1$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程

核心方法：由渐近线 $y=\pm \frac{1}{3}x$ 与过点 $(6,\sqrt{3})$ 定双曲线。

避坑指南：渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线方程。

结论推广：渐近线定参数。

方法推广：过定点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-26 填-双曲线的准线方程
• 1990-广东文-04 单-双曲线的准线方程
• 1990-全国文-05 单-双曲线的准线方程