1980-全国文-08 解-参数方程化为直角坐标方程

本题导读

本题考查参数方程化为直角坐标方程。核心在于用 ${\sec }^{2}t-{\tan }^{2}t=1$ 消参。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(文)） (1)把参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\sec t\\ y=2\tan t\end{array}$（$t$ 为参数）化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图；

(2)当 $0\le t<\frac{\pi }{2}$ 及 $\pi \le t<\frac{3\pi }{2}$ 时，各得到曲线的哪一部分？

🔍【思路分析】

破题导航

由 $x^2={\sec }^{2}t$、$\frac{y^2}{4}={\tan }^{2}t$ 及 ${\sec }^{2}t-{\tan }^{2}t=1$ 消参。

✅【答案】

Success

(1)$x^2-\frac{y^2}{4}=1$（双曲线，图略）；(2)第一象限部分与第二象限部分

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $x=\sec t$、$y=2\tan t$ 得 $x^2={\sec }^{2}t$、$\frac{y^2}{4}={\tan }^{2}t$。由恒等式 ${\sec }^{2}t-{\tan }^{2}t=1$，消去参数得 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$。这是以坐标轴为对称轴、顶点为 $(\pm 1,0)$ 的双曲线，渐近线为 $y=\pm 2x$。 (2)当 $0\le t<\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos t>0$、$\sin t\ge 0$，故 $x=\sec t\ge 1$、$y=2\tan t\ge 0$，得到双曲线在第一象限的部分（含顶点 $(1,0)$）。当 $\pi \le t<\frac{3\pi }{2}$ 时，$\cos t<0$、$\sin t\le 0$，故 $x=\sec t\le -1$、$y=2\tan t\ge 0$，得到双曲线在第二象限的部分（含顶点 $(-1,0)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程化为直角坐标方程

核心方法：消参得双曲线

避坑指南：$x^2={\sec }^{2}t$、$y^2/4={\tan }^{2}t$，用 ${\sec }^{2}t-{\tan }^{2}t=1$ 消参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与普通方程

结论推广：${\sec }^{2}t-{\tan }^{2}t=1$ 消参

方法推广：恒等式消参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1988-上海-04 填-参数方程化普通方程
• 1986-广东理-04 单-参数方程表示的曲线