2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标

本题导读

本题考查椭圆的方程与直线被椭圆所截弦的中点。核心在于联立方程后用韦达定理求中点坐标。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 已知椭圆 $C$ 的焦点分别为 $F_1(-2\sqrt{2},0)$ 和 $F_2(2\sqrt{2},0)$，长轴长为 $6$，设直线 $y=x+2$ 交椭圆 $C$ 于 $A$、$B$ 两点，求线段 $AB$ 的中点坐标．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由焦点与长轴定椭圆方程 $x^2+9y^2=9$。
2. 联立直线得 $10x^2+36x+27=0$。
3. 韦达定理求 $x_1+x_2$ 与 $y_1+y_2$。

✅【答案】

Success

中点坐标为 $\left(-\frac{9}{5},\frac{1}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由题意 $c=2\sqrt{2}$，$2a=6$ 即 $a=3$，故 $b^2=a^2-c^2=9-8=1$，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$，即 $x^2+9y^2=9$． 将 $y=x+2$ 代入，得 $x^2+9(x+2{)}^2=9$，即 $10x^2+36x+27=0$．判别式 $\Delta =36^2-4\times 10\times 27=252>0$，直线与椭圆有两个交点．设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{36}{10}=-\frac{18}{5}$；$y_1+y_2=(x_1+2)+(x_2+2)=(x_1+x_2)+4=-\frac{18}{5}+4=\frac{2}{5}$． 故线段 $AB$ 的中点坐标为 $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(-\frac{9}{5},\frac{1}{5}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的弦中点坐标

核心方法：椭圆 $x^2+9y^2=9$，代入 $y=x+2$ 得 $10x^2+36x+27=0$，$x_1+x_2=-\frac{18}{5}$，$y_1+y_2=\frac{2}{5}$，中点 $\left(-\frac{9}{5},\frac{1}{5}\right)$

避坑指南：联立 + 韦达定理求中点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与椭圆的位置关系

结论推广：一般地，弦中点由韦达定理 $x_1+x_2$ 定

方法推广：联立消元 + 韦达

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-17 解-椭圆方程与弦中点

专题合集 (Series)