1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程

本题导读

本题考查圆的标准方程、弦长公式与垂径定理。核心在于几何法（坐标代数化）、函数最值法（有界性放缩）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 设圆满足：① 截 $y$ 轴所得弦长为 $2$；② 被 $x$ 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 $3:1$.在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线 $l:x-2y=0$ 的距离最小的圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设出圆的方程与基本量：设圆心为 $M(a,b)$，半径为 $R$。 转化条件①：圆心 $M(a,b)$ 到 $y$ 轴的距离为 $|a|$。利用垂径定理得 $a^2+1=R^2$。 转化条件②：圆被 $x$ 轴分成两段弧长之比为 $3:1$，说明较小圆弧所对的圆心角为 $\frac{1}{4}\times 360^{\circ }=90^{\circ }$。由此可知，圆心到 $x$ 轴的距离 $|b|$、半径 $R$ 与截 $x$ 轴弦长的一半构成等腰直角三角形，即 $b^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)}^2⟹R^2=2b^2$。 建立代数关联：联立两条件消去 $R^2$ 得到 $a^2$ 与 $b^2$ 的关系式：$a^2=2b^2-1$。 计算目标距离并求最值：用点到直线距离公式表示出距离 $d$，利用代数变形或参数换元确定最值时的圆心坐标，从而确定圆的方程。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$ 或 $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

设圆的标准方程为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$，圆心为 $M(a,b)$，半径为 $R>0$。

由条件①，根据垂径定理，有： $a^2+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2=R^2⟹a^2+1=R^2\text{(1)}$

由条件②，较短弧所对的圆心角为 $360^{\circ }\times \frac{1}{3+1}=90^{\circ }$。 圆心 $M(a,b)$ 到 $x$ 轴的距离为 $|b|$，由垂径定理及直角三角形性质可知： $|b|=R\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}R⟹R^2=2b^2\text{(2)}$

联立①、②消去 $R^2$，得： $a^2+1=2b^2⟹a^2=2b^2-1\text{(3)}$ 由 $a^2\ge 0$ 可得 $2b^2-1\ge 0⟹b^2\ge \frac{1}{2}$。

圆心 $M(a,b)$ 到直线 $l:x-2y=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|a-2b|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}$

由③式可知 $a^2-2b^2=-1$，为使 $d$ 最小，$a$ 与 $b$ 显然应当同号。不妨设 $a>0,b>0$，则 $b=\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}$。 目标代数式化为： $\sqrt{5}d=|a-2b|=\sqrt{2a^2+2}-a$

令 $t=\sqrt{2a^2+2}-a$，移项并两边平方得： $(t+a{)}^2=2a^2+2⟹a^2-2ta+(2-t^2)=0$

由于 $a$ 有实数解，则此关于 $a$ 的一元二次方程判别式 ${\Delta }_a\ge 0$： ${\Delta }_a=(-2t{)}^2-4(2-t^2)\ge 0⟹8t^2-8\ge 0⟹t^2\ge 1$

因为 $t=\sqrt{2a^2+2}-a>0$，所以 $t$ 的最小值为 $1$，即 $\sqrt{5}d$ 的最小值为 $1$。 当 $t=1$ 时，方程化为 $a^2-2a+1=0⟹a=1$。 代入③式得 $b^2=\frac{1^2+1}{2}=1⟹b=1$（已设 $b>0$）。 此时半径 $R^2=2b^2=2$。

根据象限对称性，当 $a=-1,b=-1$ 时，同样可满足距离 $d$ 取得最小值。

综上所述，所求圆的方程为： $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2\text{或}(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的垂径定理（线段关系坐标化表达）、点到直线的距离公式、二元二次方程条件下的最值求解。 核心方法：将几何条件转化为代数方程。通过方程有解性（判别式法 ${\Delta }_a\ge 0$）来精确确定无理函数的最值边界。 避坑指南：

• 弧长比为 $3:1$ 极易被误认为是弦长比，必须转化为圆心角为 $90^{\circ }$ 的几何特征来建立 $b$ 与 $R$ 的关系。
• 在直接对分子二次型 $u=(a-2b{)}^2$ 运用判别式时，易得出 $u_{\min }=0⟹a=2b$ 的结论，但此结论代入隐含约束 $a^2-2b^2=-1$ 后无实数解。因此必须进行实数范围内的有效性检验或采用有界性放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将圆的几何性质与解析几何最值问题结合，考查圆心的隐曲线轨迹。由 $2b^2-a^2=1$ 可知圆心 $M(a,b)$ 的轨迹是一条双曲线，问题实质上是求该双曲线上的点到已知直线距离的最小值。 结论推广：若圆截 $y$ 轴弦长为 $2m$，截 $x$ 轴圆弧比为 $3:1$，则圆心轨迹为双曲线 $2b^2-a^2=m^2$。求其上点到直线 $Ax+By+C=0$ 的最短距离，均可转化为平行于已知直线的双曲线切线问题进行求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-03 单-直线与圆相切的条件
• 1999-上海文-14 单-参数方程与普通方程的一致性
• 2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标