1999-全国卷理-20 解-复数辐角的最值

本题导读

本题考查复数的辐角计算。核心在于换元法与导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 设复数 $z=3\cos \theta +i\cdot 2\sin \theta$，求函数 $y=\theta -\arg z$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）的最大值以及对应的 $\theta$ 值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 知复数 $z$ 的实部、虚部均为正，故 $\arg z=\arctan \frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\arctan \left(\frac{2}{3}\tan \theta \right)$。
2. 令 $t=\tan \theta >0$，把 $y$ 表示为 $t$ 的函数，求导判断单调性，从而确定最大值。

✅【答案】

Success

最大值为 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{12}$，对应 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，复数 $z$ 的实部和虚部均为正，所以 $\arg z=\arctan \frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\arctan \left(\frac{2}{3}\tan \theta \right)$ 令 $t=\tan \theta >0$，则 $y=\theta -\arctan \left(\frac{2}{3}t\right)$，从而 $y^{\prime }=\frac{1}{1+t^2}-\frac{\frac{2}{3}}{1+{\left(\frac{2}{3}t\right)}^2}=\frac{1}{1+t^2}-\frac{6}{9+4t^2}$ 通分化简得 $y^{\prime }=\frac{3-2t^2}{(1+t^2)(9+4t^2)}$ 分母恒为正，故当 $0<t<\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时 $y^{\prime }>0$，当 $t>\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时 $y^{\prime }<0$。所以 $y$ 在 $t=\frac{\sqrt{6}}{2}$，即 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$ 时取得最大值。

此时，利用正切差角公式： $\tan y=\frac{t-\frac{2}{3}t}{1+\frac{2}{3}{t}^2}=\frac{\frac{1}{3}t}{1+\frac{2}{3}{t}^2}$ 代入 $t=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 得 $\tan y=\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{1+1}=\frac{\sqrt{6}}{12}$ 又 $0<y<\frac{\pi }{2}$，故函数的最大值为 $y_{\max }=\arctan \frac{\sqrt{6}}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数辐角与三角函数的关系；导数法求最值。 核心方法：换元 $t=\tan \theta$ 将辐角差转化为一元函数，求导判断单调性。 避坑指南：换元后要注意 $t>0$ 的范围；求导化简要准确，勿漏分母恒正这一判断单调性的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题综合复数的三角形式与导数求最值，属于复数与微积分交汇的综合题。 结论推广：形如 $z=a\cos \theta +ib\sin \theta$ 的复数，其辐角满足 $\tan (\arg z)=\frac{b}{a}\tan \theta$，可据此将辐角问题转化为三角函数问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2001-豫粤卷-05 单-复数的辐角与辐角主值
• 1989-上海-26 解-复数集合与辐角模
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件