1999-全国卷理-12 单-圆台中截面的侧面积比

本题导读

本题考查圆台的侧面积公式，以及中截面的性质。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 $R$，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为 $1:2$，那么 $R=$()

A. 10　　　　　　　B. 15　　　　　　　C. 20　　　　　　　D. 25

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确圆台侧面积公式：圆台的侧面积公式为 $S=\pi (r_{\text{上}}+r_{\text{下}})l$，其中 $r_{\text{上}}$ 和 $r_{\text{下}}$ 分别为圆台的上、下底面半径，$l$ 为圆台的母线长。
2. 提取中截面核心特征：

• 母线特征：中截面平行于圆台的底面且处于高正中间，因此它将大圆台的母线 $L$ 平分为两段，即上、下两个子圆台的母线长相等，设为 $l$。
• 半径特征：根据空间相似与梯形中位线原理，中截面圆的半径 $r_{\text{中}}$ 是大圆台上下底面半径的算术平均值，即 $r_{\text{中}}=\frac{5+R}{2}$。

3. 列出侧面积比例方程：分别写出上圆台与下圆台的侧面积表达式，利用其比值为 $1:2$ 构建关于 $R$ 的一元一次方程，化简求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设原圆台的上底面半径 $r_1=5$，下底面半径 $r_2=R$，中截面的圆半径为 $r_{\text{中}}$。 因为中截面处于圆台高的正中间，根据圆台轴截面（等腰梯形）的中位线定理可知，中截面半径满足： $r_{\text{中}}=\frac{5+R}{2}\text{(1)}$

同时，中截面也将大圆台的母线平分为长度相等的两部分。 设上、下两个子圆台的母线长均为 $l$。

根据圆台侧面积公式 $S=\pi (r_{\text{上}}+r_{\text{下}})l$：

• 上圆台的侧面积 $S_{\text{上}}$：其上底半径为 5，下底半径为 $r_{\text{中}}$，母线长为 $l$。 $S_{\text{上}}=\pi (5+r_{\text{中}})l\text{(2)}$
• 下圆台的侧面积 $S_{\text{下}}$：其上底半径为 $r_{\text{中}}$，下底半径为 $R$，母线长为 $l$。 $S_{\text{下}}=\pi (r_{\text{中}}+R)l\text{(3)}$

已知上、下两个圆台的侧面积之比为 $1:2$，即： $\frac{S_{\text{上}}}{S_{\text{下}}}=\frac{\pi (5+r_{\text{中}})l}{\pi (r_{\text{中}}+R)l}=\frac{5+r_{\text{中}}}{r_{\text{中}}+R}=\frac{1}{2}$

交叉相乘化简得： $2(5+r_{\text{中}})=r_{\text{中}}+R⟹10+2r_{\text{中}}=r_{\text{中}}+R⟹r_{\text{中}}=R-10\text{(4)}$

将①式 $r_{\text{中}}=\frac{5+R}{2}$ 代入④式中： $\frac{5+R}{2}=R-10$

两边同乘以 2： $5+R=2(R-10)⟹5+R=2R-20$

移项整理直接解得： $R=25$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆台侧面积公式 $S=\pi (r_1+r_2)l$ 的熟练应用；旋转体中截面的轴截面投影几何规律（等腰梯形中位线）。
2. 核心方法：代数方程法。通过引入中间变量 $l$ 与 $r_{\text{中}}$，利用比例关系将消去无关项 $l$，再通过结构替换建立关于待求量 $R$ 的一元一次方程。
3. 避坑指南：

• 混淆圆锥与圆台的侧面积公式：圆锥侧面积为 $\pi Rl$，圆台由于有两个底面，其侧面积为两半径之和乘以 $\pi l$。
• 主观误判半径比例：切勿盲目认为中截面的面积或半径满足等比关系（如 $r_{\text{中}}^2=5R$ 等）。中截面的半径始终满足算术平均数（线长线性增长），而非几何平均数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中“空间几何体的表面积与体积”章节中关于圆台表面积公式的课后思考与探索习题。
2. 结论推广：若一圆台的上底半径为 $r_1$，下底半径为 $r_2$，其中截面将该圆台分割为上、下两部分，设它们的侧面积之比为 $S_{\text{上}}:S_{\text{下}}=1:k$，则下底半径 $r_2$ 恒满足下列一般化代数恒等式： $r_2=(2k+1)r_1(\text{此处满足由于中位线系数配比})$ 本题中 $r_1=5,k=2$，代入普适公式验证：$R=(2\times 2+1)\times 5=5\times 5=25$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1992-上海-07 填-圆台的侧面积
• 1993-上海-07 填-圆台侧面展开与侧面积
• 2003-北京文-07 单-圆台侧面积比