1999-全国卷理-02 单-映射的象集合元素个数

本题导读

本题考查映射中象与原象的求解，以及集合元素的互异性。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 已知映射 $f:A\to B$，其中，集合 $A=\{-3,-2,-1,1,2,3,4\}$，集合 $B$ 中的元素都是 $A$ 中元素在映射 $f$ 下的象，且对任意的 $a\in A$，在 $B$ 中和它对应的元素是 $|a|$，则集合 $B$ 中元素的个数是()

A. 4　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解映射法则：根据题意，对应法则是取绝对值，即对于 $A$ 中的任意元素 $a$，其在 $B$ 中的象为 $b=|a|$。
2. 逐一求出对应的象：将集合 $A$ 中的每个元素分别代入绝对值运算中，求出对应的所有可能结果。
3. 应用集合互异性去重：由于集合内的元素具有互异性（相同的元素只能算一个），将重复的计算结果合并，最终清点集合 $B$ 的独立元素个数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据映射的对应法则 $f:a\to |a|$，将集合 $A=\{-3,-2,-1,1,2,3,4\}$ 中的元素逐一代入：

• 当 $a=-3$ 时，对应的象为 $|-3|=3$；
• 当 $a=-3$ 时，对应的象为 $|-2|=2$；
• 当 $a=-1$ 时，对应的象为 $|-1|=1$；
• 当 $a=1$ 时，对应的象为 $|1|=1$；
• 当 $a=2$ 时，对应的象为 $|2|=2$；
• 当 $a=3$ 时，对应的象为 $|3|=3$；
• 当 $a=4$ 时，对应的象为 $|4|=4$。

由此可得，集合 $B$ 中所包含的所有可能元素结果组成的暂定集合为 $\{3,2,1,1,2,3,4\}$。 根据集合中元素的互异性，相同的元素在集合内只能出现一次，去重后可得集合 $B$ 为： $B=\{1,2,3,4\}$

因此，集合 $B$ 中元素的个数为 4 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：映射定义中“原象 $a$”与“象 $f(a)$”的对应计算；集合的三大特征（确定性、互异性、无序性）。
2. 核心方法：罗列去重法。通过建立两个集合元素之间多对一的映射模型，提取象集的实际元素。
3. 避坑指南：极易由于粗心直接数原集合 $A$ 的元素个数而错选 D。必须牢记在映射中，不同的原象可以对应同一个象（多对一），但集合内部绝不允许存在相同值的元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于人教版基础教材中“映射与函数”章节的基础概念辨析题。主要考查学生对映射“多对一”合法性以及集合基本性质的过关情况。
2. 结论推广：若一有限集合 $A$ 关于原点对称（即若 $x\in A$ 则 $-x\in A$ 且 $0\notin A$），设 $A$ 的元素个数为 $2n$，则在绝对值映射 $f:x\to |x|$ 下得到的象集 $B$ 的元素个数必为 $n$。本题中由于正负配对后多出一个正数 $4$，故最终个数为 $3+1=4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-09 单-映射的原象
• 2000-大纲理-01 单-映射象与原象
• 1989-广东理-06 单-映射的原象