1999-全国卷文-22 解-正四棱柱的截面与体积

本题导读

本题考查正四棱柱中线面关系、二面角、异面直线距离与体积。核心在于由二面角定高，再由公垂线定距离、由点到面距离定体积。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 如图，已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，点 $E$ 在棱 $D_{1}D$ 上，截面 $EAC\parallel D_{1}B$，且面 $EAC$ 与底面 $ABCD$ 所成的角为 $45^{\circ }$，$AB=a$.

(1) 求截面 $EAC$ 的面积；

(2) 求异面直线 $A_1{B}_1$ 与 $AC$ 之间的距离；

(3) 求三棱锥 $B_1-EAC$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 连 $BD$ 交 $AC$ 于 $O$，连 $EO$，由二面角 $\angle EOD=45^{\circ }$ 定 $EO$。
2. 由 $D_{1}B\parallel EO$ 定 $E$ 为 $D_{1}D$ 中点，求 $D_{1}D$ 即异面直线距离。
3. 求 $B_1$ 到平面 $EAC$ 的距离再求体积。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$

(2) $\sqrt{2}a$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $O=AC\cap BD$，连接 $EO$。因为 $ABCD$ 是正方形，所以 $DO\perp AC$；又 $ED\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $ED\perp AC$。直线 $ED$ 与 $DO$ 是平面 $EDO$ 内相交的两条直线，且都垂直 $AC$，故 $AC\perp$ 平面 $EDO$，从而 $EO\perp AC$。因此 $\angle EOD$ 是平面 $EAC$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角，故 $\angle EOD=45^{\circ }$。在直角三角形 $EOD$ 中，$DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，所以 $EO=DO\sec 45^{\circ }=a$。又 $AC=\sqrt{2}a$，故 $S_{△EAC}=\frac{1}{2}AC\cdot EO=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$。 (2) 由于 $A_{1}A\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $A_{1}A\perp AC$，又 $A_{1}A\perp A_1{B}_1$，故 $A_{1}A$ 是异面直线 $A_1{B}_1$ 与 $AC$ 的公垂线。在平面 $D_{1}DB$ 内，平面 $EAC$ 与它的交线为 $EO$，由 $D_{1}B\parallel$ 平面 $EAC$，得 $D_{1}B\parallel EO$。在三角形 $D_{1}DB$ 中，$O$ 是 $DB$ 的中点，且 $EO\parallel D_{1}B$，所以 $E$ 是 $D_{1}D$ 的中点，由中位线定理 $D_{1}B=2EO=2a$。又 $DB=\sqrt{2}a$，且 $D_{1}D\perp DB$，于是 $D_{1}D=\sqrt{D_1{B}^2-D{B}^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=\sqrt{2}a$。故异面直线 $A_1{B}_1$ 与 $AC$ 之间的距离为 $\sqrt{2}a$。 (3) 取 $A$ 为原点，以 $AB,AD,A{A}_1$ 所在直线为坐标轴。由上问知 $A{A}_1=\sqrt{2}a$，且 $E$ 是 $D_{1}D$ 的中点，所以 $A(0,0,0)$，$C(a,a,0)$，$E\left(0,a,\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$，$B_1(a,0,\sqrt{2}a)$。由三点 $A,C,E$ 得平面 $EAC$ 的方程为 $x-y+\sqrt{2}z=0$。点 $B_1$ 到该平面的距离 $h=\frac{|a-0+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}a|}{\sqrt{1+1+2}}=\frac{3a}{2}$。因此 $V_{B_1-EAC}=\frac{1}{3}{S}_{△EAC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2\cdot \frac{3a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱的截面与体积

核心方法：(1) $EO=DO\sec 45^{\circ }=a$，$S=\frac{1}{2}AC\cdot EO=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$；；(2) $D_{1}D=\sqrt{D_1{B}^2-D{B}^2}=\sqrt{2}a$ 为异面直线距离；；(3) $B_1$ 到平面 $EAC$ 距离 $\frac{3a}{2}$，$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2\cdot \frac{3a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3$

避坑指南：二面角定高 + 距离与体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正四棱柱与三棱锥

结论推广：一般地，二面角定高，$V=\frac{1}{3}Sh$

方法推广：二面角定高求体积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-17 解-正四棱柱公垂线与距离
• 2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角
• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角