1999-全国卷文-04 单-三角函数的单调区间

本题导读

本题考查正弦、余弦函数的图象与性质，以及由正弦的取值区间判断余弦的取值。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 函数 $f(x)=M\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$）在区间 $[a,b]$ 上是增函数，且 $f(a)=-M$，$f(b)=M$，则函数 $g(x)=M\cos (\omega x+\phi )$ 在 $[a,b]$ 上()

A. 是增函数　　　　　　　　　　　　　　B. 是减函数

C. 可以取得最大值 $M$　　　　　　　　　　D. 可以取得最小值 $-M$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $u=\omega x+\phi$，由 $f$ 在 $[a,b]$ 上由 $-M$ 增到 $M$ 确定 $u$ 的区间。
2. 判断 $M\cos u$ 在该区间内的取值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

记 $u=\omega x+\phi$。由于 $f(x)=M\sin u$ 在 $[a,b]$ 上递增，且在端点分别取得最小值 $-M$ 与最大值 $M$，相位 $u$ 从正弦函数的谷值沿递增支变化到峰值，可写成 $u(a)=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，$u(b)=\frac{5\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），且 $u$ 在该区间内递增。于是 $g(x)=M\cos u$ 在此过程中经历从 $0$ 到 $M$ 再回到 $0$ 的变化，故可以取得最大值 $M$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的单调区间

核心方法：$f$ 在 $[a,b]$ 上由 $-M$ 增到 $M$，相位从 $3\pi /2+2k\pi$ 到 $5\pi /2+2k\pi$，故 $g=M\cos u$ 由 $0$ 到 $M$ 再回 $0$，可取最大值 $M$，选 C

避坑指南：由正弦区间定余弦取值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的单调性

结论推广：一般地，正弦由谷到峰时余弦由 $0$ 到峰再回 $0$

方法推广：由正弦区间定余弦取值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-08 单-三角函数单调比较
• 2004-天津文-10 单-三角函数单调区间
• 2007-江苏卷-05 单-三角函数单调区间