1999-全国卷文-03 单-反函数值的求法

本题导读

本题考查反函数的概念，以及由 $f(a)=b$ 求反函数值。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 若函数 $y=f(x)$ 的反函数是 $y=g(x)$，$f(a)=b$，$ab\ne 0$，则 $g(b)$ 等于()

A. $a$　　　　　　　B. $a^{-1}$　　　　　　　C. $b$　　　　　　　D. $b^{-1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(a)=b$ 表示 $a$ 在 $f$ 下的象是 $b$。
2. 反函数 $g=f^{-1}$ 把象还原为原象。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(a)=b$，且 $g$ 是 $f$ 的反函数（即 $g=f^{-1}$），对等式两边作用 $g$，得 $g(f(a))=g(b)$。因为 $g(f(a))=a$，所以 $g(b)=a$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数值的求法

核心方法：$f(a)=b$ 且 $g=f^{-1}$，故 $g(b)=g(f(a))=a$，选 A

避坑指南：反函数还原自变量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数的概念

结论推广：一般地，$f(a)=b\Rightarrow f^{-1}(b)=a$

方法推广：反函数还原自变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-05 填-反函数图象过点求参
• 2004-全国卷III文-03 单-反函数求值
• 2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数