1999-上海理-21 解-抛物线截面的水沟应用

本题导读

本题考查抛物线方程的确定、柱体体积的计算与切线的应用。核心在于由已知点定抛物线、积分求水的体积、切线位置求最少挖土量的沟底宽。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 平地上有一条水沟，沟沿是两条长 $100\mathrm{m}$ 的平行线段，沟宽 $AB$ 为 $2\mathrm{m}$.与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为 $O$，对称轴与地面垂直，沟深 $1.5\mathrm{m}$，沟中水深 $1\mathrm{m}$.

(1) 求水面宽；

(2) 如图所示形状的几何体称为柱体.已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米；

(3) 若要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系设 $y=a{x}^2$，由沟沿点 $\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 定 $a$。
2. 水深 $1$ 时求 $x$，得水面宽；积分求水的体积。
3. 设切点，由切线定梯形面积，求最小值时的沟底宽。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ 米

(2) $\frac{400\sqrt{6}}{9}$ 立方米

(3) 沟底宽 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 米时所挖的土最少

✍【详细解析】

Abstract

(1) 如图，建立直角坐标系，设抛物线的方程为 $y=a{x}^2$。由抛物线过点 $\left(1,\frac{3}{2}\right)$，得 $a=\frac{3}{2}$，于是抛物线方程为 $y=\frac{3}{2}{x}^2$。当 $y=1$（水深 $1$ 米）时，$x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，由此水面宽为 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ 米。 (2) 水的体积 $V=2\cdot 100{\int }_0^{\frac{\sqrt{6}}{3}}\left(1-\frac{3}{2}{x}^2\right)dx=200{\left[x-\frac{x^3}{2}\right]}_0^{\frac{\sqrt{6}}{3}}=200\left(\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{9}\right)=\frac{400\sqrt{6}}{9}$。故沟中有 $\frac{400\sqrt{6}}{9}$ 立方米的水。 (3) 为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切。设切点 $P\left(t,\frac{3}{2}{t}^2\right)$（$0<t⩽1$）是抛物线弧 $OB$ 上的一点，过 $P$ 作抛物线的切线，切线 $CD$ 的方程为 $y=3t(x-t)+\frac{3}{2}{t}^2=3tx-\frac{3}{2}{t}^2$。于是 $C\left(\frac{t}{2},0\right)$，$D\left(\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right),\frac{3}{2}\right)$。由对称性，半个截面的直角梯形 $OCDE$ 面积 $S=\frac{3}{4}\left(t+\frac{1}{2t}\right)$（$0<t⩽1$）。当 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $S$ 取得最小值，此时所挖的土最少。由对称性，改挖后的沟底宽为 $2\cdot OC=2\cdot \frac{t}{2}=t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线截面的水沟应用

核心方法：(1) $y=\frac{3}{2}{x}^2$，$y=1$ 时 $x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，水面宽 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$；；(2) $V=200{\int }_0^{\frac{\sqrt{6}}{3}}(1-\frac{3}{2}{x}^2)dx=\frac{400\sqrt{6}}{9}$；；(3) 切线 $y=3tx-\frac{3}{2}{t}^2$，$S=\frac{3}{4}(t+\frac{1}{2t})$ 在 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 最小，沟底宽 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 米

避坑指南：定抛物线 + 积分求体积 + 切线求最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线与定积分

结论推广：一般地，柱体体积=底面积×高，截面用积分

方法推广：积分 + 切线综合

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-21 解-函数实际应用方案比较
• 2000-上海文-20 解-旋转行走的实际应用