2000-上海文-20 解-旋转行走的实际应用

本题导读

本题考查实际情境中的旋转与直线行走建模。核心在于用”同时到达”列时间方程求截球位置，再算转向角。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 根据指令 $(r,\theta )$（$r\ge 0$，$-180^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 $\theta$（$\theta$ 为正时按逆时针方向旋转 $\theta$，$\theta$ 为负时按顺时针方向旋转 $-\theta$），再朝其面对的方向沿直线行走距离 $r$．

(1) 现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 $x$ 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点 $(4,4)$；

(2) 机器人在完成该指令后，发现在点 $(17,0)$ 处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 $2$ 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 距离 $4\sqrt{2}$，方向角 $45^{\circ }$。
2. (2) 设截于 $P(x,0)$，机器人路程 $\sqrt{(x-4{)}^2+16}$、小球路程 $17-x$。
3. 时间相等列方程解 $x$，再求方向角。

✅【答案】

Success

(1) 指令 $(4\sqrt{2},45^{\circ })$；(2) 最快在点 $P(7,0)$ 处截住小球，所需指令 $(5.00,-98.13^{\circ })$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 机器人从原点到点 $(4,4)$ 的距离为 $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，目标方向与 $x$ 轴正方向成 $45^{\circ }$ 角，故指令为 $(4\sqrt{2},45^{\circ })$． (2) 执行指令后机器人位于 $(4,4)$，其面对方向为 $45^{\circ }$ 方向．设机器人直线行走速度为 $v$，在 $x$ 轴上点 $P(x,0)$（$0\le x\le 17$）处截住小球．机器人从 $(4,4)$ 到 $P$ 需行走 $\sqrt{(x-4{)}^2+16}$，用时 $\frac{\sqrt{(x-4{)}^2+16}}{v}$；小球从 $(17,0)$ 滚到 $P$ 路程为 $17-x$，用时 $\frac{17-x}{2v}$．若二者恰好同时到达 $P$，则 $\frac{\sqrt{(x-4{)}^2+16}}{v}=\frac{17-x}{2v}$，即 $4[(x-4{)}^2+16]=(17-x{)}^2$，化简得 $3x^2+2x-161=0$，解得 $x=7$ 或 $x=-\frac{23}{3}$（舍），故 $P(7,0)$． 当 $x<7$ 时小球到达 $P$ 所需时间大于 $\frac{5}{v}$；当 $x>7$ 时机器人到达 $P$ 所需时间大于 $\frac{5}{v}$；而在 $x=7$ 处两者时间均为 $\frac{5}{v}$，故最快在 $P(7,0)$ 处截住． 由 $(4,4)$ 指向 $(7,0)$ 的方向向量 $(3,-4)$ 相对 $x$ 轴正方向的角为 $-\arctan \frac{4}{3}\approx -53.13^{\circ }$，故第二次应旋转 $-53.13^{\circ }-45^{\circ }=-98.13^{\circ }$，行走距离 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，所需指令为 $(5.00,-98.13^{\circ })$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转行走的实际应用

核心方法：(1) 距离 $4\sqrt{2}$、转角 $45^{\circ }$，指令 $(4\sqrt{2},45^{\circ })$；；(2) 设截于 $P(x,0)$，$\frac{\sqrt{(x-4{)}^2+16}}{v}=\frac{17-x}{2v}$，$3x^2+2x-161=0$，$x=7$；指令 $(5.00,-98.13^{\circ })$

避坑指南：时间相等列方程；方向角 $\arctan \frac{4}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数学建模

结论推广：一般地，同时到达即时间相等

方法推广：列时间方程解位置

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-21 解-航行相遇解三角形应用
• 2003-上海文-04 填-点到直线最短距离

专题合集 (Series)