1999-上海文-18 解-等比数列对数和的极限

本题导读

本题考查等比数列的通项与数列极限。核心在于由等比数列得 $\lg a_n$ 为等差数列，再求和取极限。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 设正数数列 $\{a_n\}$ 为一等比数列，且 $a_2=4$，$a_4=16$，求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\lg a_{n+1}+\lg a_{n+2}+\cdots +\lg a_{2n}}{n^2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $q^2=\frac{a_4}{a_2}=4$ 且正数列得 $q=2$，$a_n=2^n$。
2. $\lg a_k=k\lg 2$，分子为等差数列片段和。
3. 化简后取极限。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}\lg 2$

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$。因为 $q^2=\frac{a_4}{a_2}=\frac{16}{4}=4$，又 $a_n>0$（$n\in \mathbf{N}$），所以 $q=2$。于是 $a_1=\frac{a_2}{q}=2$，$a_n=a_1{q}^{n-1}=2^n$。因此 $\lg a_k=k\lg 2$，故 $\frac{\lg a_{n+1}+\lg a_{n+2}+\cdots +\lg a_{2n}}{n^2}=\frac{\left[(n+1)+(n+2)+\cdots +2n\right]\lg 2}{n^2}=\frac{\frac{(n+1+2n)n}{2}}{n^2}\lg 2=\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2n}\right)\lg 2$。 所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\lg a_{n+1}+\lg a_{n+2}+\cdots +\lg a_{2n}}{n^2}=\frac{3}{2}\lg 2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列对数和的极限

核心方法：$q=2$，$a_n=2^n$，$\frac{\lg a_{n+1}+\cdots +\lg a_{2n}}{n^2}=\frac{(n+1)+(n+2)+\cdots +2n}{n^2}\lg 2=(\frac{3}{2}+\frac{1}{2n})\lg 2\to \frac{3}{2}\lg 2$

避坑指南：等比定通项再算对数和极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列与极限

结论推广：一般地，$\lg a_n$ 为等差时求和用等差求和公式

方法推广：对数和化等差求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-06 填-等比数列极限与首项范围
• 2002-上海卷文-05 填-二项式系数和与极限