1998-全国卷理-09 单-棱台的中截面面积

本题导读

本题考查棱台的中截面性质，以及相似多边形的面积比。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 如果棱台的两底面积分别是 $S,S^{\prime }$，中截面的面积是 $S_0$，那么()

A. $2\sqrt{S_0}=\sqrt{S}+\sqrt{S^{\prime }}$　B. $S_0=\sqrt{S{S}^{\prime }}$　C. $2S_0=S+S^{\prime }$　D. $S_0^2=2S{S}^{\prime }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 相似比与面积比转化：棱台的上下底面及中截面均互为相似多边形。相似多边形的面积比等于对应边长（或各截面到相应棱锥顶点的距离）的平方比，反之，对应线段的长度正比于面积的算术平方根。
2. 建立高度的代数关系：将棱台还原补全为棱锥。设棱锥顶点到上底面、中截面、下底面的距离分别为 $h_1,h_0,h_2$。由中截面定义可知，中截面到上下底面的距离相等，故有 $h_0=\frac{h_1+h_2}{2}$，即 $2h_0=h_1+h_2$。
3. 代换求解公式：将各高度用对应截面面积的平方根代换，即可直接得出正确选项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：相似性质推导 将棱台补全为以 $V$ 为顶点的棱锥。设顶点 $v$ 到两个底面以及中截面的距离（高）分别为 $h_1,h_0,h_2$。 不妨设上底面积为 $S^{\prime }$，下底面积为 $S$。因为中截面处于两底面正中间，所以： $h_0=\frac{h_1+h_2}{2}⟹2h_0=h_1+h_2\text{(1)}$

根据棱锥截面性质，各截面面积与顶点距离的平方成正比： $\frac{S^{\prime }}{S_0}=\frac{h_1^2}{h_0^2}⟹h_1=\frac{\sqrt{S^{\prime }}}{\sqrt{S_0}}{h}_0$ $\frac{S}{S_0}=\frac{h_2^2}{h_0^2}⟹h_2=\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{S_0}}{h}_0$

将 $h_1$ 和 $h_2$ 代入①式中： $2h_0=\frac{\sqrt{S^{\prime }}}{\sqrt{S_0}}{h}_0+\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{S_0}}{h}_0$

因为 $h_0\ne 0$，两边同除以 $h_0$ 得： $2=\frac{\sqrt{S^{\prime }}+\sqrt{S}}{\sqrt{S_0}}$

两边同乘以 $\sqrt{S_0}$ 得： $2\sqrt{S_0}=\sqrt{S}+\sqrt{S^{\prime }}$

方法二：特殊值法（快速排除） 取该棱台为一个特殊几何体，如正方体的下半部分（将正方体沿水平中轴面截开），此时上底、下底、中截面均是完全相同的正方形。 令 $S=1,S^{\prime }=1$，则其中截面面积也必然为 $S_0=1$。 将 $S=1,S^{\prime }=1,S_0=1$ 代入各选项进行校验：

• A 选项：$2\sqrt{1}=\sqrt{1}+\sqrt{1}⟹2=2$（成立）；
• B 选项：$1=\sqrt{1\times 1}⟹1=1$（成立）；
• C 选项：$2\times 1=1+1⟹2=2$（成立）；
• D 选项：$1^2=2\times 1\times 1⟹1=2$（不成立，排除 D）。

再取一个非柱体的特殊特殊模型：设上底面收缩为一个点（即棱锥的中截面问题），令 $S^{\prime }=0$。 根据平行于棱锥底面的中截面性质可知，中截面相似比为 $\frac{1}{2}$，其面积为底面积的 $\frac{1}{4}$，即 $S_0=\frac{1}{4}S$。 将 $S^{\prime }=0,S_0=\frac{1}{4}S$ 代入剩余选项：

• A 选项：$2\sqrt{\frac{1}{4}S}=2\times \frac{1}{2}\sqrt{S}=\sqrt{S}$，右边为 $\sqrt{S}+\sqrt{0}=\sqrt{S}$（成立）；
• B 选项：左边为 $\frac{1}{4}S$，右边为 $\sqrt{S\times 0}=0$（不成立，排除 B）；
• C 选项：左边为 $2\times \frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S$，右边为 $S+0=S$（不成立，排除 C）。

综上所述，只有 A 选项恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：立体几何中“相似体”的面积比等于相似比的平方（$\frac{S_1}{S_2}=k^2⟹\sqrt{S_1}\propto \text{线段长}$）。 核心方法：

• 理论法：将“面”的面积关系通过算术平方根转化为“线”的长度关系，利用等差中项完成证明。
• 捷径法：利用“特殊化思想”，通过退化为柱体（$S^{\prime }=S$）和锥体（$S^{\prime }=0$）两步筛选排除，可快速锁定正确答案。 避坑指南：
• 极易直观地凭感觉错选 C。误以为位置在正中间，面积就应该满足算术平均数 $2S_0=S+S^{\prime }$。必须牢记面积与线性维度的平方相关，只有各截面的对应边长才满足算术平均，面积则对应平方根的算术平均。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查经典立体几何中台体性质的完备性定理。这一结论是推导棱台（或圆台）体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$ 的前置核心定理之一。 结论推广：

• 对于任意台体（包括圆台），若将其高进行 $n$ 等分，自上而下的各等分截面面积为 $S_1,S_2,\cdots ,S_{n-1}$，上下底面积为 $S_{\text{上}},S_{\text{下}}$，则它们的平方根构成等差数列： $\sqrt{S_k}=\sqrt{S_{\text{上}}}+k\cdot \frac{\sqrt{S_{\text{下}}}-\sqrt{S_{\text{上}}}}{n}$
• 在本题中，中截面属于 $n=2$ 的情况，对应的 $\sqrt{S_0}$ 即为 $\sqrt{S_{\text{上}}}$ 与 $\sqrt{S_{\text{下}}}$ 的算术平均数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-04 单-棱锥中截面的面积
• 1999-全国卷文-12 单-圆台中截面的侧面积比
• 2012-湖北卷文-19 解-四棱台棱柱表面积