1998-全国卷文-07 单-圆锥侧面展开图的圆心角

本题导读

本题考查圆锥的侧面积与侧面展开图，以及由母线定扇形圆心角。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 已知圆锥的全面积是底面积的 $3$ 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()

A. $120^{\circ }$　　　　　　B. $150^{\circ }$　　　　　　C. $180^{\circ }$　　　　　　D. $240^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由全面积是底面积 $3$ 倍求母线长与半径关系。
2. 由扇形弧长等于底面周长求圆心角。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥底面半径为 $r$、母线长为 $l$。全面积为底面积加侧面积，即 $\pi r^2+\pi rl=3\pi r^2$，所以 $l=2r$。设侧面展开图扇形的圆心角为 $\theta$（弧度），则扇形弧长等于底面周长，故 $\theta l=2\pi r$。代入 $l=2r$，得 $\theta =\pi =180^{\circ }$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥侧面展开图的圆心角

核心方法：$\pi rl+\pi r^2=3\pi r^2$ 得 $l=2r$；扇形弧长 $\theta l=2\pi r$，故 $\theta =\pi =180^{\circ }$，选 C

避坑指南：母线定出再算弧长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥的侧面展开

结论推广：一般地，扇形弧长 $=\theta l=2\pi r$（底面周长）

方法推广：母线定出再算弧长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-09 单-直线截圆的劣弧圆心角
• 2006-全国卷II文-15 填-直线与圆劣弧圆心角
• 2008-上海卷文-17 解-扇形小区余弦定理