1998-上海理-09 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查二项式展开式的系数，以及由特定项系数求 $n$。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 设 $n$ 是一个自然数，${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{1}{16}$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出展开式中 $x^3$ 项的系数。
2. 令其等于 $\frac{1}{16}$ 解 $n$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$ 的展开式中 $x^3$ 项为 $C_n^3{\left(\frac{x}{n}\right)}^3$，其系数为 $\frac{C_n^3}{n^3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}=\frac{(n-1)(n-2)}{6n^2}$。令其等于 $\frac{1}{16}$，得 $16(n-1)(n-2)=6n^2$，即 $10n^2-48n+32=0$，即 $5n^2-24n+16=0$，解得 $n=4$ 或 $n=\frac{4}{5}$（舍去非整数）。所以 $n=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的系数

核心方法：${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$ 中 $x^3$ 系数为 $\frac{C_n^3}{n^3}=\frac{(n-1)(n-2)}{6n^2}=\frac{1}{16}$，解得 $n=4$

避坑指南：展开式通项定系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$ 通项 $C_n^k\frac{x^k}{n^k}$

方法推广：通项定系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-17 填-二项式展开式的系数
• 1999-上海理-03 填-二项式展开的指定项系数
• 2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数