1997-全国卷理-15 单-四面体中共面的计数

本题导读

本题考查排列组合（组合数公式），以及间接法（间接排除法）。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 ()

A. 150 种　　　　B. 147 种　　　　C. 144 种　　　　D. 141 种

🔍【思路分析】

破题导航

计算无约束总取法：从 10 个点中任意取出 4 个点，总取法为 $C_{10}^4$。 剔除所有“4点共面”的情况：采用间接法，找出所有 4 点共面的不合规取法。共面的 4 点分布主要包含以下三大类几何拓扑结构：

• 四面体的 4 个侧面：每个面包含 3 个顶点和 3 个中点（共 6 个点），从同一个面的 6 个点中任取 4 个点必共面。
• 包含对棱中点的特殊平行四边形面：四面体中，任意一组对棱的中点与另两组对棱的 2 个中点可以围成平行四边形。
• 三点共线导致的共面：每条棱上的两个顶点与一个中点共 3 点共线，再从线外任意取 1 个点也必共面。但需注意此种情况是否已在前面的分类中被重复计算。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

计算任取 4 个点的总种数 从四面体的 4 个顶点和 6 个棱中点（共 10 个点）中任意取出 4 个点，总组合数为： $C_{10}^4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210\text{ 种}$

分类统计 4 点共面的情况（需剔除的种数）

• 第一类：四面体的 4 个表面上的共面 每个表面都是一个三角形，包含 3 个三角形顶点和 3 条边的中点，共计 6 个点。 从同一个表面的 6 个点中任取 4 个点，这 4 个点必然共面。 一个四面体有 4 个表面，所以这部分的取法种数为： $4\times {\mathrm{C}}_6^4=4\times 15=60\text{ 种}$

• 第二类：四面体中由对棱中点围成的平行四边形截面 四面体有 3 组对棱，每组对棱的 4 个中点两两相连可以围成一个平行四边形（共面）。 例如，若四面体为 $ABCD$， $AB$ 与 $CD$ 的中点、 $AC$ 与 $BD$ 的中点等可以分别围成一个面。 3 组对棱对应 3 个这样的中点平行四边形面。 每个面由 4 个中点组成，从这 4 个点中取 4 个点的取法种数为： $3\times {\mathrm{C}}_4^4=3\times 1=3\text{ 种}$

• 第三类：由于“三点共线”导致的共面 每条棱上有 3 个点（2 个顶点和 1 个中点）处于同一直线上。一条直线与直线外任意一点都可以确定一个平面。 四面体共有 6 条棱。对于某一条棱，上面的 3 个共线点，再从棱外的 7 个点中任取 1 个点，这 4 个点也必然共面。 取法种数为：$6\times {\mathrm{C}}_3^3\times {\mathrm{C}}_7^1=6\times 1\times 7=42\text{ 种}$。

  ⚠️ 注意（避免重复计算）： 我们需要检查这 42 种取法中，是否有情况已经包含在第一类（表面共面）或第二类（中点共面）中：

  • 当棱外的那个点取自四面体的顶点时（棱外共有 2 个顶点），这 3 个棱上点与该顶点组成的 4 个点恰好构成了四面体的一个表面。这种情况在第一类（$4\times {\mathrm{C}}_6^4$）中已经作为一个表面的 4 个顶点/中点组合被计算过了。 每条棱对应 2 个这样的面，6 条棱共计：$6\times 2=12$ 种。
  • 当棱外的那个点取自与该棱相邻的棱中点时（一条棱有 4 个相邻棱中点），这 3 个棱上点与该中点也同样属于四面体的某一个表面。 每条棱对应 4 个这样的表面内点，6 条棱共计：$6\times 4=24$ 种。
  • 当棱外的那个点取自与该棱相对的对棱中点时（一条棱有 1 个对棱中点），该棱上的 1 个中点、2 个顶点与对棱中点组成的 4 个点不属于任何表面，但其中“棱中点与对棱中点”组成的 4 个中点组合已经在第二类中被计算过了。然而本类中含有的是【2个顶点+2个中点】，并没有在第二类中出现过，故不属于重复。

  综合上述分析，重复计算的种数为：$12+24=36$ 种。 因此，属于第三类且独立（未重复）的共面取法净值为： $42-36=6\text{ 种}$

求差集得出最终不共面取法 将总取法减去上述所有共面情况： $\text{不共面取法}=210-(60+3+6)=210-69=141\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合数公式 $C_n^m$；正难则反的计数策略；四面体内部点、线、面的空间几何位置排布。 核心方法：“间接法（排除法）”。 避坑指南：

• 多算/重复计数陷阱：本题属于高考排列组合板块的超级易错题，难度极高。绝大多数学生能够想到 $210-4\times C_6^4-3\times C_4^4=147$，从而错选 B。这完全漏掉了由于“三点共线与线外一点”构成的共面中，【2个顶点+1个棱中点+1个对棱中点】这种既不属于四面体表面，也不属于全中点面的额外共面形态（共有 6 种）。只有严谨梳理出这 6 种特例，才能得到正确答案 141。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题作为 1997 年全国卷的经典拉分选择题，考查了组合数学中“点集共面判定”的边界问题，是各省模拟考试命题时经常引用的常青树机理题。 结论推广： 对于任意满足顶点数为 $V=4$，棱数为 $E=6$ 的标准凸四面体：

• 其顶点与各棱中点共 10 个点组成的点集中，不共面的 4 点组合数恒为常数 141 种。
• 若将问题外推到“正方体的 8 个顶点中任取 4 个不共面的点”，则其对应的间接排除式为：$C_8^4-(6\text{ [六个表面]}+6\text{ [六个对角面]})=70-12=58$ 种。这一系列多面体顶点组合不共面模型，在离散几何与计算机图形学的三维网格（Mesh）空间剖分算法中，是用于构建无冗余四面体化（Delaunay Tetrahedron）的核心计数基准。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数
• 1999-全国卷文-14 单-不定方程的选购计数
• 2001-上海文-07 填-组合计数应用