1997-全国卷文-25 解-由条件求圆的方程

本题导读

本题考查由几何条件求圆的方程。核心在于把弦长、弧长比、距离条件化为关于圆心和半径的方程。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 设圆满足： ① 截 $y$ 轴所得弦长为 $2$； ② 被 $x$ 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 $3:1$； ③ 圆心到直线 $l:x-2y=0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$. 求该圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$。
2. 由三个条件分别列方程，联立求 $a$、$b$、$r$。

✅【答案】

Success

$(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$ 或 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $(a,b)$、半径为 $r$，圆方程为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$。 由①：圆截 $y$ 轴（$x=0$）所得弦长为 $2$，即 $2\sqrt{r^2-a^2}=2$，得 $r^2-a^2=1$。 由②：圆被 $x$ 轴（$y=0$）分成两段弧长比为 $3:1$，即对应圆心角分别为 $270^{\circ }$ 与 $90^{\circ }$，弦心距 $|b|$ 满足 $|b|=r\cos 45^{\circ }=\frac{r}{\sqrt{2}}$，故 $r^2=2b^2$。 由③：圆心到 $x-2y=0$ 的距离为 $\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即 $|a-2b|=1$。 联立 $r^2-a^2=1$、$r^2=2b^2$、$|a-2b|=1$，解得 $a=b=\pm 1$、$r^2=2$。故圆方程为 $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$ 或 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由条件求圆的方程

核心方法：设圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$；截 $y$ 轴弦长 $2\sqrt{r^2-a^2}=2$；被 $x$ 轴分两段弧比 $3:1$ 得 $r^2=2b^2$；圆心到 $x-2y=0$ 距离 $\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；联立得 $a=b=\pm 1,r^2=2$，故 $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$ 或 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$

避坑指南：三条件列方程组

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆的方程

结论推广：一般地，把几何条件转化为关于 $a,b,r$ 的方程

方法推广：三条件列方程组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-03 单-直线与圆相切的条件
• 1999-上海文-14 单-参数方程与普通方程的一致性
• 2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标