1997-上海理-14B 填-向量垂直求参数

本题导读

本题考查向量的加减与垂直，以及数量积为零。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）设 $\mathbf{a}=(m+1)\mathbf{i}-3\mathbf{j}$，$\mathbf{b}=\mathbf{i}+(m-1)\mathbf{j}$，$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp (\mathbf{a}-\mathbf{b})$，则 m=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$。
2. 由垂直得数量积为零解 $m$。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(m+2)\mathbf{i}+(m-4)\mathbf{j}$，$\mathbf{a}-\mathbf{b}=m\mathbf{i}-(m+2)\mathbf{j}$。由 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp (\mathbf{a}-\mathbf{b})$ 得 $(m+2)m+(m-4)(-(m+2))=0$，即 $(m+2)(m-m+4)=4(m+2)=0$，故 $m=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直求参数

核心方法：$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(m+2)\mathbf{i}+(m-4)\mathbf{j}$，$\mathbf{a}-\mathbf{b}=m\mathbf{i}-(m+2)\mathbf{j}$，垂直则 $(m+2)m+(m-4)(-(m+2))=0$，即 $(m+2)(m-m+4)=4(m+2)=0$，$m=-2$

避坑指南：向量垂直数量积为零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材向量垂直

结论推广：一般地，$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}\iff \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

方法推广：向量垂直数量积为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-01 填-向量垂直的坐标运算
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积
• 1999-上海理-08 填-向量的旋转坐标变换