1997-上海理-13A 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及分子分母同除最高次项。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）设 $0<a<b$，则 \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4b^n}{a^n-b^n}=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同除以 $b^n$。
2. 利用 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n\to 0$ 求极限。

✅【答案】

Success

$-4$

✍【详细解析】

Abstract

因 $0<a<b$，故 $0<\frac{a}{b}<1$，${\left(\frac{a}{b}\right)}^n\to 0$。于是 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4b^n}{a^n-b^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{{\left(\frac{a}{b}\right)}^n-1}=\frac{4}{0-1}=-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：$0<a<b$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{4b^n}{a^n-b^n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{4}{(a/b{)}^n-1}=\frac{4}{0-1}=-4$

避坑指南：分子分母同除 bⁿ

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列极限

结论推广：一般地，$\lim \frac{a^n}{b^n}=0$（$0<a/b<1$）

方法推广：分子分母同除 bⁿ

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-18 解-等比数列对数和的极限
• 2000-上海文-04 填-重要极限
• 1998-全国卷文-15 单-等比数列公比与极限