1997-上海理-12 填-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及降幂与辅助角公式。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 函数 $f(x)=3\sin x\cos x-4{\cos }^{2}x$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用二倍角公式降幂。
2. 用辅助角公式求最值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=3\sin x\cos x-4{\cos }^{2}x=\frac{3}{2}\sin 2x-4\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{3}{2}\sin 2x-2\cos 2x-2$。因 $\frac{3}{2}\sin 2x-2\cos 2x$ 的最大值为 $\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2}$，故 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$f(x)=\frac{3}{2}\sin 2x-4\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{3}{2}\sin 2x-2\cos 2x-2$，最大 $\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2+2^2}-2=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}+4}-2=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}-2=\frac{5}{4}-2=-\frac{3}{4}$ 不对；$f(x)=\frac{3}{2}\sin 2x-2\cos 2x-2$，最值 $=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，故最大 $\frac{1}{2}$

避坑指南：辅助角公式求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数最值

结论推广：一般地，$a\sin x+b\cos x$ 最值 $\pm \sqrt{a^2+b^2}$

方法推广：辅助角公式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-13 填-三角函数最值
• 2004-全国卷III文-15 填-辅助角求最值
• 1998-上海理-02 填-三角函数的最值