1998-上海理-02 填-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及辅助角公式的应用。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 若函数 $y=2\sin x+\sqrt{a}\cos x+4$ 的最小值为 $1$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用辅助角公式把 $2\sin x+\sqrt{a}\cos x$ 合并。
2. 由其最小值定 $a$。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式，$2\sin x+\sqrt{a}\cos x=\sqrt{4+a}\sin (x+\phi )$，其最小值为 $-\sqrt{4+a}$。因此 $y$ 的最小值为 $4-\sqrt{4+a}$。由题意 $4-\sqrt{4+a}=1$，得 $\sqrt{4+a}=3$，所以 $a=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$y=2\sin x+\sqrt{a}\cos x+4$ 最小值为 $4-\sqrt{4+a}=1$，故 $\sqrt{4+a}=3$，$a=5$

避坑指南：辅助角公式求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的最值

结论推广：一般地，$a\sin x+b\cos x$ 最值为 $\pm \sqrt{a^2+b^2}$

方法推广：辅助角公式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-15 填-辅助角求最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 2008-大纲Ⅱ文-10 单-辅助角公式最值