1997-上海文-12 填-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） 函数 $f(x)=3\sin x\cos x-1$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$。
2. 由 $\sin 2x$ 的范围求最值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=3\sin x\cos x-1=\frac{3}{2}\sin 2x-1$。因 $-1⩽\sin 2x⩽1$，故 $\frac{3}{2}\sin 2x$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$，所以 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$f(x)=3\sin x\cos x-1=\frac{3}{2}\sin 2x-1$，最大 $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$

避坑指南：二倍角求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数最值

结论推广：一般地，$3\sin x\cos x=\frac{3}{2}\sin 2x$

方法推广：二倍角求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-13 填-三角函数最值
• 2004-全国卷III文-15 填-辅助角求最值
• 1998-上海理-02 填-三角函数的最值