本题导读
本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的单调性与最值。核心在于特殊值构造法、边界值分析法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 已知 是实数，函数 ，，当 时，.
(1) 证明：；
(2) 证明：当 时，；
(3) 设 ，当 时， 的最大值为 2，求 .
🔍【思路分析】
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第 (1) 问证明思路：
- 寻找能够直接孤立参数 的特殊自变量。由于 ，而 恰好在定义区间 内，直接带入定义条件 即可完成证明。 第 (2) 问证明思路：
- 一次函数 在闭区间 上的最大值和最小值必然在两个端点 或 处取得。
- 考虑端点值 与 。
- 利用已知条件中的特殊端点值 与 ，尝试用 线性组合表示出 与 ，进而套用三角不等式 完成极限值的放大证明。 第 (3) 问分析思路：
- 已知 ，则一次函数 单调递增，其最大值必然在右端点取得，即 。
- 代回原函数表达，由第 (2) 问的边界逼近可知，此时函数必须在某些点达到绝对值的物理边界 1。
- 结合 ，利用夹逼定理和二次函数的开口及顶点几何特征，唯一确定参数 的代数解。
✅【答案】
Success
(1) 证明见解析
(2) 证明见解析
(3)
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明：
因为当 时，恒有 。 注意到 属于该区间 。 将 代入函数 中，可得： 因为 ，所以： 第一问得证。
(2) 证明：当 时，
因为 是一次函数（或常数函数），其在闭区间 上的图象是一条直线段。因此， 在该区间上的最大值必然在端点 或 处取得。 要证明在整个区间上 ，只需证明在两个端点处满足 且 。
计算已知函数 在三个特殊点 处的值：
证明 ： 观察一次函数在右端点的值 。利用上述三个特殊点的值进行线性组合： 根据绝对值不等式性质 ，可得： 因为已知条件给定 且由第一问知 ，代入放大得：
证明 ： 观察一次函数在左端点的值 。同样利用特殊点的值进行线性组合： 根据绝对值不等式性质： 因为已知给定 且 ，代入放大得：
综上所述，由于端点处的绝对值均不大于 2，故当 时，恒有： 第二问得证。
(3) 设 ，当 时， 的最大值为 2，求
因为已知 ，所以一次函数 在区间 上单调递增。 因此，其最大值必然在右端点 处取得，即：
由第 (2) 问的化简过程可知： 代入 ① 式得：
因为已知条件约束对于所有区间内的点均满足 ，所以必须同时满足： 将 代入范围限制中：
结合 自身的法定范围 ，取交集可知 只能取到唯一的边界临界值： 将 代回，得：
因为 ，所以： 将 且 代入，得：
再由已知条件，左端点值必满足 ：
同时，考虑二次函数 的顶点或区间内部取值。 因为 ，二次函数图象开口向上，其在闭区间 上的最值还受到顶点的制约。 由于 已经达到了整个函数的绝对值下限 （因为 ）。 这说明 在区间内取得的极小值（顶点值）不能比 还要小。 对于开口向上的抛物线，其顶点的纵坐标公式为 ，必须满足： 因为 ，两边同乘以 ：
根据实数完全平方非负性， 恒成立。要使上式成立，必须有：
将 代入前文的线性等式关系中：
将这组唯一确定的参数代回原二次函数解析式中：
检验：当 时，，满足 的题设条件。
综上所述，所求函数为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：多维有界约束条件的特殊值提取；一次函数的端点极值原理；二次函数最值的顶点有界控制（夹逼定理）。 核心方法：“边界值夹逼法”。在处理包含绝对值的抽象不等式方程时，通过将区间边缘的极值代入，利用边界重合产生的唯一确定解（如 ）直接锁死参数，是解决高级代数压轴题的王道方法。 避坑指南：
- 单侧范围漏项陷阱：第三问中很多学生通过 轻易解出 这一线性关系后，由于忽略了二次函数开口向上时顶点（极小值）不能跌破下限 的核心几何特征，导致无法计算出 的唯一确定值。必须时刻牢记：二次函数的区间最值必须同时由端点和对称轴顶点双重控盘。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题作为 1996 年全国理科数学的高考压轴题，属于逼近论中极其著名的**切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）**在初等数学领域的投影缩影。 结论推广： 本题实际上是切比雪夫最优逼近定理的一个特例：在区间 上，所有最高次项系数为 的二次函数中，使其绝对值最大值最小的唯一最优多项式恒为 。 本题中当 时，该最优多项式即为 。 这一理论在高等数学、数值分析中被广泛用于计算计算机芯片在处理超越函数（如 ）时的最佳多项式插值拟合，用以将算法的截断误差控制在极限最小范围内。
🔗【关联脉络】
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