1996-全国卷理-17 填-正六边形顶点的三角形计数

本题导读

本题考查排列组合（组合数公式），以及几何计数问题（排除共线点）。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有$\underline{}$个.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

计算无条件限制的总组合数：从这 7 个点中任取 3 个点，不考虑共线情况，总取法为 $C_7^3$。 寻找并剔除三点共线的情况：

• 观察正六边形的几何对称性。正六边形的 6 个顶点中，相对的两个顶点连线必然经过正六边形的中心。
• 这意味着，每一条对角线上的两个相对顶点与中心，这三个点恰好在同一条直线上。
• 找出所有这样三点共线的组合数。 求差集锁定答案：用总组合数减去三点共线的组合数，即为能构成三角形的有效个数。

✅【答案】

Success

32

✍【详细解析】

Abstract

计算从 7 个点中任取 3 个点的总组合数 根据组合数公式，从 7 个不同元素中不考虑顺序地选出 3 个元素的总方法数为： ${\mathrm{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$

寻找并剔除三点共线无法构成三角形的特殊组合 由于任意三点只要不在同一条直线上，就必然能围成一个三角形。因此我们需要扣除所有“三点共线”的情形。 观察正六边形的几何结构，其 6 个顶点和 1 个中心（记为 $O$）之间：

• 任何 3 个顶点之间均不可能共线（因为正六边形的任意 3 个顶点都不会落在同一条直线上）。
• 唯一的共线可能，必须包含中心 $O$。

经过中心 $O$ 且包含两个顶点的直线，只有正六边形的 3 条主对角线（连接相对顶点的线段）。 这 3 组共线的三点组合分别为：

1. 第一条主对角线上的两个端点与中心 $O$；
2. 第二条主对角线上的两个端点与中心 $O$；
3. 第三条主对角线上的两个端点与中心 $O$。

除了这 3 条主对角线外，不存在其他任何三点共线的情况。 所以，三点共线的特殊取法共有： $3\text{ 种}$

求出有效三角形的个数 由间接排除法，能构成三角形的个数为： $N={\mathrm{C}}_7^3-3=35-3=32$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合数 $C_n^m$ 的数值计算；几何图形中的共线约束分析。 核心方法：“间接排除法”（正难则反）。在排列组合几何计数题中，当直接分类较为繁琐时，先求出无限制的总数，再精准扣除不满足条件（如共线、重合）的少数特例，是最高效、最不易漏项的通用范式。 避坑指南：

• 共线漏计陷阱：极易想当然地认为 $C_7^3=35$ 就是最终答案，忽略了中心和两个相对顶点在数轴或空间上属于同一条直线、无法张开成平面的事实。
• 在数对角线时，注意不要将不经过中心的短对角线（如连接相邻三个顶点的等腰三角形底边）误判为共线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于概率与组合板块非常经典的传统几何计数题，源自教材中“组合与组合数公式”章节后关于“多点共线判定三角形”的标准示范例题。 结论推广： 对于任意正 $2n$ 边形（$n\ge 2$），其中心和顶点共 $2n+1$ 个点，从中任取 3 个点作为顶点构成三角形的个数 $N$ 满足以下通用对称计数模型：

• 总取法为 $C_{2n+1}^3$；
• 经过中心的主对角线共有 $n$ 条，即共线的情形共有 $n$ 种；
• 通用公式为： $N=C_{2n+1}^3-n=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}-n$ 本题验证：将本题正六边形参数 $n=3$ 代入该推广公式：$N=C_7^3-3=35-3=32$。这套模型在处理更高级的多边形（如正八边形、正十边形）顶点及中心组网计数时，可实现直接免图秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数
• 1999-全国卷文-14 单-不定方程的选购计数
• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数