1996-全国卷理-08 单-诱导公式与反三角函数

本题导读

本题考查诱导公式，以及反三角函数的定义域与值域。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 若 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，则 $\arcsin \left[\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\right]+\arccos \left[\sin (\pi +\alpha )\right]$ 等于 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　B. $-\frac{\pi }{2}$　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}-2\alpha$　　　　　　D. $-\frac{\pi }{2}-2\alpha$

🔍【思路分析】

破题导航

应用诱导公式化简内层真数：

• 利用 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$，化简第一个括号。
• 利用 $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$，化简第二个括号。 利用反三角函数性质脱去算子：
• 考查 $\arcsin (-\sin \alpha )$：利用奇函数性质化为 $-\arcsin (\sin \alpha )$。结合 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 属于主值区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，直接得出结果。
• 考查 $\arccos (-\sin \alpha )$：利用性质 $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$ 展开，再将 $\sin \alpha$ 转换为 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$，结合主值范围脱去算子。 求和合并：将两部分化简结果相加，合并同类项锁定正确选项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

利用诱导公式化简算子内部表达式 根据三角函数的诱导公式，有： $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$ $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

代入原式，式子转化为： $I=\arcsin (-\sin \alpha )+\arccos (-\sin \alpha )$

分别求解两部分反三角函数的值

1. 化简 $\arcsin (-\sin \alpha )$： 因为反正弦函数 $y=\arcsin x$ 是奇函数，所以 $\arcsin (-x)=-\arcsin x$： $\arcsin (-\sin \alpha )=-\arcsin (\sin \alpha )$ 已知 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，其完全在反正弦函数的主值区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内，故 $\arcsin (\sin \alpha )=\alpha$。 所以： $\arcsin (-\sin \alpha )=-\alpha \text{(1)}$

2. 化简 $\arccos (-\sin \alpha )$： 根据反余弦函数的性质，满足 $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$： $\arccos (-\sin \alpha )=\pi -\arccos (\sin \alpha )$ 利用诱导公式，将其中的正弦项化为余弦项：$\sin \alpha =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$： $\arccos (\sin \alpha )=\arccos \left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]$ 已知 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，可以推得 $0<\frac{\pi }{2}-\alpha <\frac{\pi }{2}$。该区间完全在反余弦函数的主值区间 $[0,\pi ]$ 内。 所以，$\arccos \left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]=\frac{\pi }{2}-\alpha$。 代回得： $\arccos (-\sin \alpha )=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\pi -\frac{\pi }{2}+\alpha =\frac{\pi }{2}+\alpha \text{(2)}$

将两部分化简结果相加 将①式与②式代回原式 $I$： $I=(-\alpha )+\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\alpha +\frac{\pi }{2}+\alpha =\frac{\pi }{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）；反三角函数的定义域与核心主值区间（$\arcsin x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],\arccos x\in [0,\pi ]$）。 核心方法：“主值区间恒等化简法”。通过负号提取性质（如 $\pi -\arccos x$）将真数修正为正数，再利用余角公式对齐名数，是解决此类超越复合式的通用范式。 避坑指南：

• 值域偏离陷阱：极易错选 C 或 D。在化简 $\arccos (-\sin \alpha )$ 时，若盲目认为 $\arccos (\cos \theta )=\theta$ 而忽略负号性质，将其错算为 $\arccos \left[\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\right]=\frac{\pi }{2}+\alpha$，则会导致最终消元失败得到含 $\alpha$ 的错误多项式。
• 务必检查脱去算子后的代数项是否超出了反三角函数法定的取值范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于反三角函数与基础三角恒等变换深度交汇的中档能力题。取材于解析几何及高等数学衔接教材中关于“反三角函数基本恒等式证明”章节下的经典题型。 结论推广： 在实数定义域内，对于任意满足有意义条件的自变量 $x\in [-1,1]$，反正弦函数与反余弦函数存在一个极为著名的互补恒等式（定理）： $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ 本题秒杀逻辑： 通过第一步化简，原式已退化为 $\arcsin (-\sin \alpha )+\arccos (-\sin \alpha )$。 令核心变量 $X=-\sin \alpha$。因为 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，所以 $X\in (-1,0)\subset [-1,1]$。 直接套用上述推广的互补恒等式定理： $\arcsin X+\arccos X=\frac{\pi }{2}$ 即可在完全不展开具体角度 $\alpha$ 的情况下实现一秒心算解题。这一互补定理在高等数学微积分（求导与积分变换）中具有核心应用价值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.01 函数的概念
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定
• 1997-全国卷文-13 单-奇偶函数与单调性的不等式