1996-全国卷文-18 填-正切和角公式的求值

本题导读

本题考查正切和角公式，以及 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ 的应用。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\tan 60^{\circ }=\tan (20^{\circ }+40^{\circ })$ 展开。
2. 把 $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }$ 用 $\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$ 表示后代入。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正切和角公式，$\tan 60^{\circ }=\tan (20^{\circ }+40^{\circ })=\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }}{1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}=\sqrt{3}$，得 $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}(1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ })$。代入原式：$\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}(1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ })+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切和角公式的求值

核心方法：$\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }=\tan 60^{\circ }(1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ })+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}$

避坑指南：正切和角公式整体代入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正切和角公式

结论推广：一般地，$\tan \alpha +\tan \beta =\tan (\alpha +\beta )(1-\tan \alpha \tan \beta )$

方法推广：和角公式整体代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-01 填-正切和角求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值