1996-上海理-24 解-数列的通项与公共项

本题导读

本题考查数列通项、公共项与极限，核心在于由前 $n$ 项和求通项、用二项式展开判定公共项、求极限。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)）设 $A_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项的和， $A_{n} = \frac{3}{2} (a_{n} - 1)$ （ $n \in N$ ）.数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 4 n + 3$ （ $n \in N$ ）.

(1)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)若 $d \in {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots} \cap {b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots}$ ，则称 $d$ 为数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的公共项.将数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 ${d_{n}}$ ，证明数列 ${d_{n}}$ 的通项公式为 $d_{n} = 3^{2 n + 1}$ （ $n \in N$ ）；

(3)设数列 ${d_{n}}$ 中的第 $n$ 项是数列 ${b_{n}}$ 中的第 $r$ 项， $B_{r}$ 为数列 ${b_{n}}$ 前 $r$ 项的和， $D_{n}$ 为数列 ${d_{n}}$ 前 $n$ 项的和， $T_{n} = B_{r} - D_{n}$ .求 $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{( a _{n} ) ^{4}}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

由 $A_{n}$ 与 $A_{n - 1}$ 相减求 $a_{n}$ 。

用二项式展开证明 $3^{2 n + 1}$ 是公共项且仅奇数项是。

求 $B_{r}$ 、 $D_{n}$ 、 $T_{n}$ ，再求极限。

✅【答案】

Success

(1) $a_{n} = 3^{n}$ （ $n \in N$ ）

(2) 见解析

(3) $\frac{9}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $n = 1$ 时， $a_{1} = \frac{3}{2} (a_{1} - 1)$ ，解得 $a_{1} = 3$ 。当 $n ⩾ 2$ 时， $a_{n} = A_{n} - A_{n - 1} = \frac{3}{2} (a_{n} - a_{n - 1})$ ，由此解得 $a_{n} = 3 a_{n - 1}$ ，即 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = 3$ （ $n ⩾ 2$ ）。数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $3$ 、公比为 $3$ 的等比数列，故 $a_{n} = 3^{n}$ （ $n \in N$ ）。 (2)先证形如 $3^{2 n + 1}$ （ $n \in N$ ）的数是 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的公共项： ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = 3^{n}$ ，故 $3^{2 n + 1} \in {a_{1}, a_{2}, \dots}$ ；又 $3^{2 n + 1} = 3 \cdot 9^{n} = 3 (8 + 1)^{n} = 3 [8 (8^{n - 1} + C_{n}^{1} 8^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1}) + 1]$ 。令 $t = 8^{n - 1} + C_{n}^{1} 8^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1}$ ，则 $t$ 为正整数，故 $3^{2 n + 1} = 3 (8 t + 1) = 4 \cdot (6 t) + 3 \in {b_{1}, b_{2}, \dots}$ 。所以 $3^{2 n + 1}$ 是公共项。再证 ${a_{n}}$ 中除形如 $3^{2 n + 1}$ 的项外都不是 ${b_{n}}$ 中的项：显然 $a_{1} = 3$ 不是 ${b_{n}}$ 中的项；而 $a_{2 n} = 3^{2 n} = (8 + 1)^{n} = 8 t + 1 = 4 (2 t) + 1$ （ $n \in N$ ， $t \in N$ ），不是 ${b_{n}}$ 中的项。由两步得 ${d_{n}}$ 的通项公式是 $d_{n} = a_{2 n + 1} = 3^{2 n + 1}$ （ $n \in N$ ）。 (3)由 $3^{2 n + 1} = 4 r + 3$ ，得 $r = \frac{3 ^{2 n + 1} - 3}{4} = \frac{3}{4} (3^{2 n} - 1)$ 。易知 $B_{r} = \frac{r ( b _{1} + b _{r} )}{2} = \frac{3 ( 3 ^{2 n} - 1 ) ( 7 + 3 ^{2 n + 1} )}{8}$ ， $D_{n} = \frac{d _{1} ( 9 ^{n} - 1 )}{9 - 1} = \frac{27 ( 3 ^{2 n} - 1 )}{8}$ ， $T_{n} = B_{r} - D_{n} = \frac{9 \cdot 3 ^{4 n} - 15 \cdot 3 ^{2 n} + 6}{8}$ ，故 $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{( a _{n} ) ^{4}} = n \to \infty lim \frac{9 \cdot 3 ^{4 n} - 15 \cdot 3 ^{2 n} + 6}{8 \cdot 3 ^{4 n}} = \frac{9}{8}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的通项与公共项

核心方法：(1) $a_{1} = 3$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1}$ ， $a_{n} = 3^{n}$ ；；(2) 公共项 $d_{n} = 3^{2 n + 1}$ ；；(3) $r = \frac{3 ^{2 n + 1} - 3}{4}$ ， $T_{n} = B_{r} - D_{n}$ ， $lim \frac{T _{n}}{( a _{n} ) ^{4}} = \frac{9}{8}$

避坑指南：递推求通项 + 公共项构造

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的通项与求和

结论推广：一般地，递推求通项，构造公共项

方法推广：递推求通项 + 公共项构造

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