1995-全国卷理-22 解-三角恒等式的求值

本题导读

本题考查三角函数的降幂公式与倍角公式、积化和差公式。核心在于降幂扩角法、积化和差化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 求 ${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}50^{\circ }+\sin 20^{\circ }\cos 50^{\circ }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

消除二次项（降幂）：式中含有 ${\sin }^{2}20^{\circ }$ 和 ${\cos }^{2}50^{\circ }$。利用降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ 和 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ 将其化为一次的二倍角形式（即 $40^{\circ }$ 和 $100^{\circ }$）。 转换乘积项（积化和差）：式中的交叉乘积项 $\sin 20^{\circ }\cos 50^{\circ }$ 可利用积化和差公式 $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$ 转化为和差形式，或者先利用诱导公式化为同名函数再处理。 统一角度与名称：将所有项转化为以余弦（或正弦）表示的单项，利用特殊角及互补、互余关系进行抵消和化简。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设所求式子为 $A={\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}50^{\circ }+\sin 20^{\circ }\cos 50^{\circ }$。

应用降幂公式处理二次项 ${\sin }^{2}20^{\circ }=\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}$ ${\cos }^{2}50^{\circ }=\frac{1+\cos 100^{\circ }}{2}$

处理乘积项 利用诱导公式，将 $\cos 50^{\circ }$ 转化为 $\sin 40^{\circ }$，再利用倍角公式或积化和差： $\sin 20^{\circ }\cos 50^{\circ }=\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }$ 根据积化和差公式 $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$： $\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }=-\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ }-\cos 20^{\circ })=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\cos 20^{\circ }\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }$

代入原式合并化简 将上述各项代入 $A$ 中： $A=\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}+\frac{1+\cos 100^{\circ }}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }$ $A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 100^{\circ }-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ }$ $A=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}(\cos 100^{\circ }-\cos 40^{\circ }+\cos 20^{\circ })$ $A=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(\cos 100^{\circ }-\cos 40^{\circ }+\cos 20^{\circ })$

利用和差化积公式处理括号内的 $\cos 100^{\circ }-\cos 40^{\circ }$： $\cos 100^{\circ }-\cos 40^{\circ }=-2\sin \frac{100^{\circ }+40^{\circ }}{2}\sin \frac{100^{\circ }-40^{\circ }}{2}=-2\sin 70^{\circ }\sin 30^{\circ }$ 由于 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，上式可化为： $-2\sin 70^{\circ }\times \frac{1}{2}=-\sin 70^{\circ }$

根据诱导公式，$-\sin 70^{\circ }=-\cos 20^{\circ }$。 将此结果代回 $A$ 的表达式中： $A=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(-\cos 20^{\circ }+\cos 20^{\circ })$ $A=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times 0=\frac{3}{4}$

答： ${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}50^{\circ }+\sin 20^{\circ }\cos 50^{\circ }$ 的值为 $\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非特殊角的三角恒等变换，核心公式链为“降幂公式 $\to$ 积化和差/和差化积 $\to$ 诱导公式”。 核心方法：降幂统一法。凡是遇到非特殊角的单项平方组合，首选策略是通过二倍角降幂公式消除平方，将其转化为线性的角度关系。 避坑指南：

• 积化和差与和差化积公式中的系数（如 $\frac{1}{2}$ 或 $2$）极易记混或漏写，运算时需反复核对。
• 注意正负号的变换，特别是在处理 $\cos 100^{\circ }-\cos 40^{\circ }$ 的和差化积时，公式自带负号：$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于三角求值板块的代表性题目，考查逻辑与常规的教材恒等变形推导完全一致。其高等数学背景可关联到复数域下的欧拉公式展开。 结论推广： 本题可推广为关于特殊角度关系的通用恒等式。若两角 $\alpha ,\beta$ 满足 $\alpha +\beta =60^{\circ }$ 或其相关组合，具有如下性质： 对于式子 $I={\sin }^2\alpha +{\cos }^2(\alpha +30^{\circ })+\sin \alpha \cos (\alpha +30^{\circ })$， 利用上述相同的步骤进行全参化推导，可证得该式子的值与 $\alpha$ 的取值无关，恒等于常数 $\frac{3}{4}$。 本题验证：令 $\alpha =20^{\circ }$，则 $\alpha +30^{\circ }=50^{\circ }$，直接契合本题结构，结果即为 $\frac{3}{4}$。该结论常用于复杂三角多项式的客观题快速秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值
• 1997-上海文-12 填-三角函数的最值
• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值