1995-全国卷理-15 单-直三棱柱中异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量的正交分解与坐标运算。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 如图，$A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 是直三棱柱，$\angle BCA=90^{\circ }$，$点D_1,F_1$ 分别是 $A_1{B}_1,A_1{C}_1$ 的中点，若 $BC=CA=C{C}_1$，则 $B{D}_1$ 与 $A{F}_1$ 所成的角的余弦值是 ()

A. $\frac{\sqrt{30}}{10}$　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{30}}{15}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{15}}{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

构筑坐标系：由直三棱柱可知侧棱垂直于底面，且底面满足 $\angle BCA=90^{\circ }$，因此 $CA,CB,C{C}_1$ 两两垂直。可以以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系。 设值并定点：令 $BC=CA=C{C}_1=2$（设为2便于处理中点坐标），写出相关各顶点的空间坐标。 求出方向向量：根据点坐标分别计算出向量 $\overrightarrow{B{D}_1}$ 与 $\overrightarrow{A{F}_1}$ 的坐标表示。 计算夹角余弦值：利用向量夹角公式 $\cos ⟨\overrightarrow{B{D}_1},\overrightarrow{A{F}_1}⟩=\frac{|\overrightarrow{B{D}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_1}|}{|\overrightarrow{B{D}_1}|\cdot |\overrightarrow{A{F}_1}|}$ 进行求解，异面直线所成角的范围为 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，故结果取正值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

以 $C$ 为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$ 方向为 $x$ 轴正方向，$\overrightarrow{CB}$ 方向为 $y$ 轴正方向，$\overrightarrow{C{\mathrm{C}}_1}$ 方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

设 $BC=CA=C{\mathrm{C}}_1=2$。则相关各点的坐标为： $C(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$ $A_1(2,0,2)$, $B_1(0,2,2)$, ${\mathrm{C}}_1(0,0,2)$

因为 $D_1$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点， $F_1$ 是 $A_1{\mathrm{C}}_1$ 的中点，由中点坐标公式得： $D_1\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(1,1,2)$ $F_1\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(1,0,2)$

由此可得各直线的方向向量： $\overrightarrow{B{D}_1}=(1-0,1-2,2-0)=(1,-1,2)$ $\overrightarrow{A{F}_1}=(1-2,0-0,2-0)=(-1,0,2)$

计算向量的模长和数量积： $|\overrightarrow{B{D}_1}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{6}$ $|\overrightarrow{A{F}_1}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}$ $\overrightarrow{B{D}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_1}=1\times (-1)+(-1)\times 0+2\times 2=-1+0+4=3$

设 $B{D}_1$ 与 $A{F}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{B{D}_1}\cdot \overrightarrow{A{F}_1}|}{|\overrightarrow{B{D}_1}|\cdot |\overrightarrow{A{F}_1}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{30}}=\frac{3\sqrt{30}}{30}=\frac{\sqrt{30}}{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的向量求法、直三棱柱的结构特征。 核心方法：空间直角坐标系法。当题目中出现两两垂直的结构（如直角三角形底面加垂直侧棱）时，建系利用向量坐标运算是最具确定性且不易出错的方法。 避坑指南：

• 使用向量求异面直线夹角时，最终结果必须取绝对值。因为向量夹角范围是 $[0,\pi ]$，而异面直线所成夹角范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，其余弦值永远非负。
• 设棱长时，若涉及中点，建议设为 $2$ 或 $2a$，可有效避免坐标中出现繁琐的分数，从而简化后续的数量积运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题由教材中直三棱柱与异面直线夹角的经典证明与计算题改编而来。在传统的立体几何中，通常需要作平行线（如取 $A_{1}B$ 的中点等）构造共面三角形，再利用余弦定理解三角形。 结论推广： 在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若底面 $\angle C=90^{\circ }$ 且满足 $AC=BC=C{C}_1=k$，若 $M,N$ 分别是棱 $A_1{B}_1,A_1{C}_1$ 上的点，且满足 $\overrightarrow{A_{1}M}=\lambda \overrightarrow{A_1{B}_1}$，$\overrightarrow{A_{1}N}=\mu \overrightarrow{A_1{C}_1}$，则直线 $BM$ 与 $AN$ 方向向量的夹角余弦值可以通过以下统一的坐标形式计算： $\cos \theta =\frac{|(1-\lambda )(-1)-\lambda \cdot 0+1\cdot 1|}{\sqrt{(1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2+1^2}\cdot \sqrt{(-1{)}^2+0^2+1^2}}(\text{以 }k=1\text{ 归一化})$ 这种参数化方法可以快速解决一类变动点位置的异面直线夹角最值或定值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01 空间向量及其运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-19 填-二面角与异面直线所成角
• 1996-上海文-21 解-二面角与异面直线所成角
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积