1995-全国卷文-14 单-等差数列前 n 项和之比与极限

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和之比与通项之比的转化，以及数列极限的计算。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$ 与 $T_n$，若 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{2n}{3n+1}$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ 等于 ()

A.$1$　　B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$　　C.$\frac{2}{3}$　　D.$\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差数列中 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$。
2. 代入并令 $n\to \infty$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

等差数列中 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$，$T_{2n-1}=(2n-1)b_n$，故 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{2(2n-1)}{3(2n-1)+1}=\frac{4n-2}{6n-2}$。取极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n-2}{6n-2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前 n 项和之比与极限

核心方法：$\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{4n-2}{6n-2}\to \frac{2}{3}$，选 C

避坑指南：中项性质转化后取极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列前 n 项和

结论推广：一般地，等差数列中 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$（奇数项和的中项结构）

方法推广：中项性质转化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-13 单-等差数列前 3m 项和
• 1996-上海文-24 解-数列的通项与公共项
• 1997-上海文-13A 填-数列的极限