1995-全国卷文-07 单-正弦与余弦的大小比较区间

本题导读

本题考查三角不等式，以及单位圆上正弦与余弦大小关系的区间判定。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 使 $\sin x⩽\cos x$ 成立的 $x$ 的一个变化区间是 ()

A.$\left[-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$　　B.$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ C.$\left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$　　D.$[0,\pi ]$

🔍【思路分析】

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1. 由 $\sin x=\cos x$ 得 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$。
2. 在相邻两解之间检验 $\sin x⩽\cos x$ 的符号。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\sin x=\cos x$ 的解为 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。在 $\left[-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 内取 $x=0$，$\sin 0=0⩽1=\cos 0$，且区间两端点处 $\sin x=\cos x$，故该区间内恒有 $\sin x⩽\cos x$。而 B 中 $x=\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin x=1>\cos x=0$，C 中 $x=\frac{\pi }{2}$ 同理不成立，D 中 $x=\frac{\pi }{2}$ 不成立。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦与余弦的大小比较区间

核心方法：$\sin x=\cos x$ 的解为 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$，区间 $[-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 内恒有 $\sin x⩽\cos x$，选 A

避坑指南：单位圆对称轴定区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材单位圆中的三角函数线

结论推广：一般地，$\sin x=\cos x$ 的解为 $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$，两解之间分符号讨论

方法推广：对称轴分区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.07 常见三角不等式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围
• 1996-上海文-02 单-正弦函数的单调区间
• 1997-上海文-08 填-三角方程的解的个数